概要：流形本身没有局部性质（见第一篇局部微分几何），但我们可以在其上定义一些额外的结构来赋予它局部性质，其中最简单的就是基于切/余切丛的张量场，以及更一般的场张量。
目录：
逐点性和局部性 向量空间上的张量 张量场和张量丛 场张量 附录
逐点性和局部性
让我们回顾一下“场和丛”那篇文章中定义场（丛截面）的方法，
我们发现，一个场完全由它在每个点处的值决定，即，“场是逐点（pointwise）定义的”。
逐点的概念可以进行推广。
考虑流形上全体实光滑函数的集合，以及上一点，我们可以定义一个上的算符（operator）【注】
这个算符的作用就是取场在点处的值。
【注】：我这篇文章中使用的算符几乎可以等价于实（多）线性变换，具体情况要参照定义域。
那么这个算符有什么特点呢？我们先来看另外两个例子。
例子二，考虑从到（没有端点）的线段，上面的光滑函数都是可导的，所以我们可以定义一个算符
这个算符的作用就是取场在点处的导函数值（对一般的流形我们是没有这个“导函数值”的，需要额外选定坐标）。
例子三，上面的光滑函数都是可积分的，所以我们可以定义一个算符
这个算符的作用就是取场在整个空间上的积分值。
我们现在有三个算符，读者可以自行检验一下这三个都是实线性函数。
对比后我们发现，的值决定于场在点处的值（听起来是句废话），如果我们有，那么 ；
的值决定于场在点附近的值，即点的任意一个邻域上的值，如果我们有，那么；
的值取决于整个函数，没有上面所述的性质。
我们可以把拓展到整个流形上，
（我们也可以拓展，不过那就是个常数场了）
更一般的说，考虑一个算符，我们定义
（的情况）是逐点的，当对任意的点，
因此我们可以定义
（的情况）是局部的，当对任意的点，
其中是的任意一个邻域；
（看过我代数几何系列的朋友可能可以意识到，上述条件等价于，在点的芽germ相等，即）
此时我们无法定义（但是可以定义，不过这与主题无关）。
特别的，逐点的算符一定是局部的。
上面的标量丛可以换成其他的向量丛【注】（甚至是一般的纤维丛，不过此时的算符就需要修改了），比如我接下来会谈的张量丛；我们还可以从线性变换拓展到多线性变换。
【注】：向量丛是一类特殊的纤维丛，它要求纤维是，并且要求一些其他的性质使得向量丛看起来很像向量空间。我没有定义过什么是向量丛（其实也没有定义过什么是向量空间），可能还会再补充一篇关于向量丛的文章。
向量空间上的张量
这篇文章的重点之一是张量场，即逐点为张量的场。那么什么是张量呢？
正统的学习张量的方法在代数里，关于“张量积”。张量积很有意思，但我不想讲；其实universal property（万有性质）真的很有趣，以后我有可能会专门讲吧。这篇文章我会用一种简单的方法来讲。
取作为一个有限维度的向量空间；在这个篇章里，被称为原空间，它的元素被称为原向量。
特别的，原向量本身就是的型张量。
上所有型张量的集合被称为型张量空间，记作，我们有。
对偶空间
首先我们来定义“的对偶空间”，简称对偶空间，
即所有上的实线性函数的集合，读者可以证明一下它确实是一个向量空间。的元素被称为对偶向量，全名的对偶向量。
对于一般的向量空间来说，原向量和对偶向量之间，并不存在一组唯一确定、令人信服的（canonical）对应关系，因此我们只能说的一个对偶向量，不能说原向量的对偶向量（在内积空间，比如中，可以通过内积定义这种对应关系，此时我们可以定义什么是原向量的对偶向量）。
特别的，对偶向量本身就是的型张量。
的型张量空间记作，我们有。
直觉上说，型张量的集合就是个和个的“张量积”。
首先我们要解决的问题是，为什么张量的类型是，而不是，甚至是。答案是，对偶对偶空间就是原空间（当是有限维度的时候）。
对偶对偶空间
既然我们可以定义，我们当然也可以定义
不过有趣的事情是，此时我们能够找到和的一组唯一确定、令人信服的（canonical）对应关系，（必须要求是有限维度的）
其中
数学系的读者可以试着证明一下这是一个向量空间同构。
原空间和对偶空间的对偶空间之间的这种特别的对应关系唯一确定、令人信服，因此在有限维度的情况下，我们把原空间和对偶空间的对偶空间视作同一个空间。我在局部微分几何系列中提到的用方向导数来定义切向量的思想就来自于此。
张量积
有了原空间和对偶空间，我们就可以定义张量了。简单来说，张量就是形如
的多线性函数（什么是多线性函数不应该是这篇文章的内容，读者应该从其他地方进行学习）。
注：关于笛卡尔积。这里的笛卡尔积不是拓扑意义下的笛卡尔积，只是集合意义下的，简单来说就是从每个空间里各取一个元素。
换个角度，利用张量积我们可以把的张量空间定义为，几个与几个的张量积，张量就是张量空间的元素。
首先我们定义
于是凭借对偶对偶空间和原空间的“相同性”，我们有
以及
（写张量空间的时候，我们习惯先写原空间，再写对偶空间，读者可以试着证明一下和之间存在着唯一确定、令人信服的对应关系）
我们可以很自然的考虑多线性函数，
并把它们的集合记作
现在，的元素被称为型张量。此外，的维度是，其中是的维度，感兴趣的的读者可以去附录里看看的一组基。
柯里化（Currying）
对于高阶的张量，有一个有趣而又简单的角度去理解它，计算机里称为柯里化。
首先考虑一个型张量（更一般的型张量都成立），
取一个原向量，我们定义
有些数学家会把这个张量记作，它是一个对偶向量。
满足，
我们发现，需要输入两个原向量，而当我们只输入一个原向量的时候，我们可以得到一个对偶向量，它只需要输入一个原向量，即
也就是说，我们可以把理解成一个，“输入一个原向量（型），得到一个对偶向量（型）”的函数。
实际上在这个过程中，我们用了一些低阶的张量（型和型）来定义了一个高阶的张量（型）。
（定义，我们有
严格来说顺序是和wiki上定义的柯里化相反的，wiki上是，但数学上说这两种定义存在一种唯一确定、令人信服的对应关系，所以为了后文的方便我选择了逆序的版本。 ）
我们可以对一个型张量，重复至多次柯里化。取个原向量，按照的顺序进行柯里化，得到
这个定义看起来有点复杂，不过它满足
其中是原向量。
对于型张量也是类似的，只是此时我们要使用对偶向量而不是原向量。
对于一般的型张量情况，如果柯里化次数（记作）少于次，那么和的情况一样；如果多于（但是要少于次），那么我们先做次得到型张量，再对于它进行剩下的次柯里化，最终得到，
读者可以验算一下我有没有数错。
数学里写张量积的时候，我们一般就把原空间放在张量积的左侧，对偶空间放在右测，即
但在物理里，（据说）为追求“物理意义”，张量积可以有特定的顺序。有趣的事情是，配合（逆）柯里化，我们可以“一个张量到另一个张量的线性映射”理解成一个新的张量。举个例子，考虑
我们可以把定义成一个（混序）的型张量
事实上，对的后三项做柯里化我们就能得到
两类特别的张量
虽然我洋洋洒洒的写了那么多，但在我学的三门微分几何课程（微分拓扑、黎曼几何、复流形）里面，实际用到的只有两类，分别是型张量场和型张量场（和场张量）。这两类张量场的特别之处在于，定义他们不需要用到对偶空间（其实也不需要张量积）。
所以你就算看不懂上面关于张量的定义，你只需要学会这一个小节的内容就足够了。
首先是型张量，
即输入个原向量得到一个实数。
之后我们会学到，-形式（-form）是反对称/置换型张量场，黎曼度规（Riemannian metric）是对称型张量场。
特别的，型张量是
也就是一个实数，
型张量是
也就是一个对偶向量。
第二类特殊的张量是型张量，
在我们利用柯里化输入了个原向量后，我们得到了
即，它是一个原向量，那么我们就能把这个型张量改写成，
即输入个原向量得到一个新的原向量。
之后我们会学到，联络（affine connection）是型场张量（不是张量场），黎曼曲率张量场（Riemannian curvature）是型张量场（它还有另一个型的变体），
特别的，型张量是
也就是一个原向量，
型张量是
也就是一个原空间上的线性变换。
张量场和张量丛
有了张量的定义，我们已经可以很直觉的理解张量场的概念了，即在流形的每个点，“光滑的”取一个以切空间为原空间的张量（切空间上的张量），所得到的场。
从另一个角度来说，对于一个特定的流形，每个点都有一个对应的型张量空间，因此我们可以定义的型张量丛，记作（也有人用或者）。
型张量丛对于来说是唯一确定的（更严谨的表达是，在向量丛同构的意义下唯一确定）。上全体的型张量丛，统称张量丛。
特别的，我们有切向量丛，简称切丛；余切向量丛，简称余切丛；标量丛【注】。
【注】：标量丛好像没有公认的记号，我用，不过似乎也挺合理的（我见过有人直接用但我觉得太有歧义了）。
张量场是某个张量丛的截面。更严格说法是，流形上一个型张量场是的型张量丛上的一个截面。
我们用表示所有型张量场的集合，称之为（张量）场空间，读者可以试着证明一下它是个实向量空间。
切向量场空间和余切向量场空间由于特别常用，它们有专属的符号，
（没错，余切向量场又称-形式）
标量场空间记作
符合之前的定义。
场张量
张量场在一个点上看是一个以为原空间的张量，但如果从全局的角度去看，我们发现，它其实也是个以为原空间的张量，来看个具体的例子。
考虑一个型张量场，即，考虑在上一点处，
是以为原空间的型张量，是一个双线性函数；
我们可以把这个映射拓展到整个，即
注：对这个操作不熟悉的读者请参考我之前写的《场与丛》那篇文章，是微分几何系列的第一篇文章。
神奇的事情是，也是一个双线性函数，也就是说，是一个以为原空间的型张量。由于是切向量场空间，我把以它为原空间的张量称为，场张量。
【注】：场张量是我本人（Giacomo Zheng）起的名字，如有雷同不甚荣幸；等我有资格和话语权之后，我尽量让它变成一个正式名字。
跟具体的讲，型场张量是形如
这样的多线性函数。（太长了。。。）
场张量是以为原空间的张量，但是不是所有的张量都是场张量。事实上的张量空间
是远远不止上述的多线性函数的，原因是是一个无限维度的实向量空间，的对偶空间远远不止有的元素，也不再等于它本身。
局部的场张量
注：“局部的”这个说法容易误解成“局部定义的”，这里更准确的意思是“可以局部定义的”，即“满足局部性”。
在实际使用场张量这个概念的时候，我希望它满足局部性，即对于型场张量，考虑点附近相同的两组输入，它们输出的值在点相同。
以上面型场张量为例【注】，是局部的，说明对任意的点，对任意的两个切向量场，如果能找到的一个邻域使得
我们有，
【注】：严格来说，上面的型场张量不是一个足够一般的例子，不是所有的型场张量都可以表示成的形式，我在附录中做了说明。
未来的某篇文章里我会讲李导数和联络，我们会发现它们都不是张量场，但是都是场张量（事实上“求导”所需要满足的乘积率，即莱布尼兹率，和张量场所需要满足的光滑线性是冲突的，所有所有的“求导”算符都不是张量场）。
逐点的场张量
我们回头来看张量场，很自然的发现，张量场都是场张量。更严格的说，都是逐点的场张量（因此是局部的），即对于型场张量，考虑点处相同的两组输入，它们输出的值在点相同。
以上面的型场张量为例，是逐点的，说明对任意的点，对任意的两个切向量场，如果有
我们有，
读者可以试着证明一下，逐点的场张量一定是张量场。
特别的我们有一个逐点性的等价条件，被称为光滑线性，即对-“线性”。
注：，当我写作，是想强调里面的元素是“标量场”；当我写作时，说明我希望类比-线性，来探讨-线性。关于这里的线性的含义，见附录。
同样以型张量为例，是光滑线性的，说明对任意的光滑函数，我们有
读者可以思考一下如何说明“型”里面的“”这一项满足光滑线性，以及我们有没有必要额外证明它。附录里对这个问题做了一定程度的解释，感兴趣的读者可以看看。
附录
指标记号
当原空间是的时候（即我们考虑局部微分几何的时候），原空间和对偶空间存在着唯一确定、令人信服的对应关系（可以从欧几里得内积得到），所以我们取原空间的一组基（basis）后，能在对偶空间中找到它们的对偶向量，记作。
因此我们能找到型张量空间的一组基
对于一个型张量，可以分解成，
其中
实际上我们发现，这个过程对张量成立，所以不管是张量场还是场张量都能得到对应的局部表达式。这就解释了为什么联络不是张量场，我们却仍然可以把它局部的写成克氏符（Christoffel symbols）的形式。
-线性
向量空间（线性空间）的定义是，把一个域作用在一个交换群（加法群）上。
是域，所以我们可以定义实向量空间，但是不是，我们只能定义-module（翻译成模，但这个翻译……有大歧义，日语翻译成“环上的加群”）。
不过，是个自由的（free）-module，所以它一定程度上非常像向量空间，我们可以把线性代数的概念用在这里。特别的，是个维自由-module，无限维-向量空间。
型张量场和场张量的差异
以型为例，严格来说，一个型场张量是
输入一个余切向量场，两个切向量场，得到一个标量场。
如果是一个张量场，那么完全等价于
读者可以试着证明一下。提示，逐点的考虑问题。
此时我们有，
现在我们考虑和都只是场张量的情况，如果这个等式仍然成立，因为是个余切向量场，我们有
即，对是逐点的，而这不是一般的场张量所需要的。换言之，不是所有的型场张量都可以写作的形式（但是张量场一定可以）。
这种现象的根本原因是，是无限维度实向量空间，仅仅只是的对偶空间的一个真子集，我们可以把称作的“逐点对偶”。
