弗洛凯系统是一种具有周期性调制的晶格结构，π模是弗洛凯系统中一种独特的拓扑边界态，因其通常出现在纵向布里渊区的边界附近而得名。虽然保守系统中的π模已有报道，但非保守系统中π模的性质依然吸引着人们的兴趣，亟待开发研究。本工作在波导位置随传播方向周期性变化并具有PT（parity-time）对称性的光波导阵列（图1a）中得到了可放大和衰减的π模。在非线性机制的平衡下，放大的π模可以形成稳定的激光输出，其局域化程度可以通过波导横向振荡幅度得到灵活地控制。理论上这种π模激光是无功率阈值的，易于激发。
图1. 非厄米弗洛凯SSH 阵列及其频谱。
该系统胞内和胞间间距随传播距离周期性变化，导致其从瞬时拓扑相（胞间耦合大于胞内耦合）变为瞬时非拓扑相（胞间耦合小于胞内耦合）。虽然拓扑相只出现在纵向周期的一半，但是在所有传播距离都存在拓扑边界态，此性质已经在对应的能谱中得到了证实，图1b中红色线表示拓扑态。保守条件下，拓扑态光场占据波导的两个边界，如图1e和f。引入增益和损耗后（橙色和蓝色分别表示增益和损耗波导），系统将产生一个放大和一个衰减的拓扑π模，分别占据波导的一个边界（见图1c和d）。蓝色和橙色点对应占据不同波导边界的π模：橙色点对应的模式在传播过程中被放大，而蓝色点对应的模式是衰减的。与体态相比，π模的放大和衰减具有更快地速度。
图2. π模激光。
为了防止π模的振幅无限放大，我们在系统中引入非线性吸收，从而实现周期性振荡的π模激光。逐渐增大增益和损耗的值，可以得到不同非线性吸收系数下的π模激光族，如图2所示。可以看出，π激光模式发源自线性π模式——功率逐渐减小时退化到线性模式。值得注意的是，激光模式对应的传播常数b都在带隙中，受到禁带的保护。
图3. 随机噪声对π模的激发。
研究表明π模是所有模式中放大最快的。所以，在合适的参数范围内，输入随机噪声，相应的π模可以在竞争中脱颖而出，从而实现单模激光输出。图3展示了从噪声中激发π模激光的动力学特性和最终形成稳定激光输出的过程，其中输入的噪声为点1对应的光场分布，点2、点3和点4对应的光场分布展示了在传播过程中π模激光的逐步建立并达到稳定出射的过程。
团队介绍
西安交通大学电子学院张贻齐教授为通讯作者，李永东教授和曹猛教授参与了指导。俄罗斯科学院Yaroslav V. Kartashov教授提供了具体和重要的指导。西安交通大学电子学院博士生沈双为论文第一作者。
团队网址：https://zhangyiqi.gr.xjtu.edu.cn
文章信息
π mode lasing in the non-Hermitian Floquet topological system
Shuang Shen (沈双); Yaroslav V. Kartashov; Yongdong Li (李永东); Meng Cao (曹猛); Yiqi Zhang (张贻齐)
APL Photonics 9, 086113 (2024)
https://doi.org/10.1063/5.0217904
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