姜萍为何不能？丘成桐说：世界上没有一种学问是不花功夫就可以得到很好的结果

文摘 2024-11-03 13:18 北京

编者按：

11月3日，阿里巴巴全球数学竞赛组委会发布2024阿里巴巴全球数学竞赛有关情况说明。情况说明显示此前炒得沸沸扬扬的“天才数学少女”姜萍及其指导老师王某某均未获奖，并据调查了解，王某某在预选赛中对其指导的学生提供帮助，违反了预选赛关于“禁止与他人讨论”的规则。这基本坐实了此前阿里达摩院发布的宣传视频纯属未经调查的炒作。

数学是一门严谨的科学，需要极其严格的学习和训练才能进行研究。著名数学家、菲尔兹奖首位华人得主丘成桐说：世界上没有一种学问是不花功夫，就可以得到很好的结果。‍‍‍

要理解数学，学好数学，还是要读真正大师的著作。丘成桐先生去年出版的《真与美：丘成桐的数学观》，集结了他近半个世纪以来探讨数学和人文教育的系列文章，呈现了一位天才数学大师沟通数理与人文的努力与实践。

在书中他分享了毕生研究数学、传授数学的经历和经验，讲述了世界范围内数学家群星闪耀的历史传奇，揭秘了“卡拉比-丘流形”的诞生历程和几何奥妙，也有大量篇幅谈及中国教育的现状和问题。今天特摘选其中一篇《关于数学学习》供大家阅读参考。

关于数学学习

文 / 丘成桐

懂得越多，才知兴趣所在

决定要念数学，就得花全部精力到数学上。希望你对数学有兴趣，在数学里得到大的乐趣。这对以后的成就，也会有很大的影响。

我觉得最不好的，是你对数学有兴趣，却为了赚钱而学其他科目，其实也不见得赚得到钱。因此你的决心要下得很大，不能三心二意。“让我念念看，假如不行的话再转。”很多人这样想，尤其是中国学生，进了大学再试试看。这儿不行就转转，最后搞得两边都不如愿。为什么一定要这样呢？

我很早就下决心要念数学，从来没有想过要转其他学科，或是为了其他事情而不念数学。

数学有很多不同分支。在大学里，你可能对每一门数学分支的了解有限。因此你当时难以明确对哪一门数学兴趣大。

兴趣大小和你对学科了解的深浅有关。你可能对某样东西有兴趣，可当你不了解它时，你就不可能对它有兴趣。譬如爬山，爬过了小山才看得到大山。你还没有看到后面的山以前，就不可能对后面的山有兴趣。所谓兴趣和了解多少有一种非线性的关联。

这个兴趣和你当时所处的地理环境和时间有关系，也就是说和当时的时空关联比较大。譬如，你刚好在台湾，周边的教授们若是专做某一领域的研究，那么你了解其他领域的机会就少。或者你恰好到世界某个机构，也许时机不对，当地大部分数学家不太关注你的这一领域，而是感兴趣其他领域的问题，虽然这并不说明其他领域的问题就更重要。所以数学家对数学的了解跟时空有关，兴趣也会跟此有关。

一个年轻的学生，首先要开放心胸。你所念的学科，很多时候跟其他的学科关系甚大，不要以为你念的跟其他学科完全无关，就不学其他学科了。比方说，我对泛函分析有兴趣，而跟泛函分析关系不大的，就算有一点关系的其他学科，我也不想去学，这是一个错误的观念。其实泛函分析跟偏微分方程及很多不同的理论有关。大学是一个通才教育，就算你只对代数有兴趣，除了代数以外，微积分也要懂，微积分对代数有很大的影响。大学所能提供的课程，你们年轻人都应该去学。不但要学，而且要尽量学好。

基础打好，对研究帮助很大

很难想象有什么大学课程在研究院时是不重要的。在大学里念的每一门课，和以后研究都有关系。在研究院一二年级的课，对以后的研究也大有好处，应该尽量将基础打好。到真做研究时，你会发现需要很多工具。很多知识如果你在大学和研究院时没有学好，那就不幸了。因为到了博士阶段，常常要赶写论文，如果发现工具不够，就得花很多时间去补课。如果工具不够又不想去补课，那就会很麻烦。博士毕业以后，将面临很多不同的其他压力。你要尽力发表文章，一下子没有那么多时间将所需要的那些工具重新学。所以念大学和研究院的那几年时间，要尽量将所有基本工具全部学懂，这很有必要。

我很多朋友是代数几何做得很好，可是需要用到分析做工具时，他们就觉得很怕。分析学得好，可是需要代数时就很怕。我觉得好的数学家，至少要懂得两门以上的数学。这样当题目来时不会恐惧，才能活跃地做一个好研究。

每一门学科你要学到什么程度呢？当遇到一个研究课题时，虽然不见得能够解决掉，但至少要知道你可以对这个问题产生一些想法，同时可以找到这方面的文献，将它基本的术语弄懂。明白怎么去攻克这个问题，然后开始解题。这个问题不一定能够解决，至少你不觉得不着边际，知道怎么去对付。要做到这一点，其实是要懂很多知识，要经过相当久的训练，才能够达到这一程度。

问问题是一个重要的训练

因为个人能力所限，一个人不可能通晓每门学科，这并非我们不想。当遇到一个题目时，它不见得正好是熟悉的领域，我们往往会产生很多不同的相关问题，希望能够找文献或至少找合适的做研究的人，问他们碰到这种题目时要怎么对付。

你们在大学或研究院要懂得怎么提问，这是重要的基本功训练。提问的训练，从小的方面来讲，就是问老师或同学；从大的方面来讲，就是自己做一些还没有人问过的问题。要判断一个数学家的优劣，往往决定于他所问问题有没有意思，是不是重要，有没有深度。当你成为一个专家时，才知道你问的问题有没有意思。

对年轻人来讲，问一些自己认为有意思的问题，是一个很好的训练。你问的问题，可能是专家们熟知的，或是人家已经解决了，其实也没有什么关系。问问题并不容易，但要尽量在这方面训练自己。

大学念到一二年级时，应当通过跟同学讨论来训练自我，也要通过向老师问问题来训练自己。

你们清华的同学间，彼此讨论问题的情况怎么样？我觉得这也是重要的学习过程。无论是懂的问不懂的人，或是不懂的问懂的人，这对双方都大有裨益。

自己不懂的问题去问懂的人，当然对自己有好处。反过来讲，你跟不懂的人解释自己懂的知识，也是一个很好的训练。因为往往人们认为很懂的知识，当向别人解释时，才发现自己其实不懂。向对方解释数学命题时（一般地，大学读到的多是已知的命题），常常会发现本来以为是对的理解，原来是错的。所以无论是自己学得不大好的，还是自己学得很好的，互相讨论对双方都有好处。

高年级同学知道，在看课外书或是参考书时，前面的第一章，往往觉得很容易，第二章也容易，到第三章可能模糊，到第四章时好像很形式化，并不懂什么意思。为什么会产生这种现象呢？这很简单，因为第一章比较浅一点，你看懂了。第二章其实你不懂，你就跳过去了。比如，书中的证明没看懂，但自以为明白。越看越多时，前面没有掌握的知识越累积越多，到了最后，根本没办法控制学习。

假如你看一本书时，可以对着一个人讲，甚至对着一个黑板讲。对着同学讲，不仅有意思，而且同学往往会问些问题，让你明白什么地方没有搞清楚。经过这一过程后，你会知道什么地方懂，什么地方不懂。所以我鼓励学生一定要教书。

做研究的人也一样，一定要经常参加讨论班，在讨论班上讲课，不能仅仅做研究就算了。教书的好处跟上面讲的一样。在讲自己的研究时，或者在讲一个命题时，你往往一路讲一路发觉自己有什么不足的地方。不讲自己的研究，你对自己有哪些不足好像很模糊，甚至搞不清楚。当你向别人讲时，一点一滴讲出来，你就晓得自己有哪方面不足。你所做研究各部分中间的联系，并不像你想象的那么完善。因为发觉研究不够完善，所以我们还要继续向前做。假如研究已完美，就可以告一段落了。

所以同学跟同学间、同学跟老师间的讨论，是很重要的。

任何一门科学，包括数学，都在不断地发展和完善中。在每一个层次上，人们都可以问一些重要的问题。一般地，数学里即使很简单的知识，你也可以问出重要的问题。这些问题你并不一定能够解决，但可以跟老师或者跟同学讨论。

在问问题时，可以将自己的整个思考过程梳理清楚，这是个重要的训练，我鼓励大家尽量多提问。

我从很早时就常问问题。我在中学时开始找问题，研究过很多问题，看有没有办法自己解决。

其中有一个问题：给一个三角形多少数据，就可以完全决定一个三角形呢？一般地给定三个数据，例如一条边两个角（ASA）或三条边（SSS），都可以决定三角形。假如给的是三个分角线的长又如何呢？三角形的数据一般有边长、角度、分角线长、中垂线长等，随便抽三个出来，是否就能决定一个三角形？

这个问题，我考虑了一年多，最后发现它并不简单。那时上学每天需要坐火车，我就在火车上想。最后看了一本参考书才知道能不能解，不过整个思考过程对我的帮助很大。

中学二年级时开始学平面几何，在三年级时我开始想这个问题的。还有一些问题比此更复杂，所以在最简单、最平凡的知识中，你也可以找到许多有意思的问题问自己。

在自然界里或数学中问题多如牛毛，关键是自己要去找或怎么去找。这就需要自我训练，方法很多，要自己努力，同时要多跟别人来往和探讨。训练要花功夫，要动脑筋，不是随便讲两句就行了。要清楚从早到晚究竟花了多少功夫在研究上。

做学问用功很重要

我从前有一个博士生，资质不错，想法也不错。我跟他说：你一天最少要花六个钟点在数学上想论文。他说不行。后来他也没有再做下去。你们能否每天花六小时思考数学，或学习数学？做学问全神贯注很重要。假如不能全身心投入，那就干脆不要念数学。

大学毕业后，我一天至少有十多个钟头在想数学。你不一定要这样，但至少也要花一定时间钻研，才能做一个好的数学家。如果愿意花很多功夫，那么你一定会有收获。

一个好的数学家，除了用功之外，也需要有些运气。天赋有影响，你们能考上清华，天赋应该不差。真正重要的，还是全神贯注的能力。

以前我在香港念中学和大学，当时很想看参考书，可是书既昂贵又不易找到。你们现在在清华念书，要找什么都找得到。找比较好的教授来讲课，现在也容易。所以，要学好数学，主要是我们自己想不想做好学问，不要找借口。

国外很多大学学生多，不大容易找到好的老师，研究的机会可能也比这边少得多。我读大学时的经验就是这样，要靠自己用功。

做学问和研究要靠自己。一般来讲，你到一个学校，刚好跟你做同一领域的人并不多，顶多两三个而已，基本上靠自己去开拓。参考书籍有了，不一定要靠别人，得培养自己的能力。只要肯问问题，靠自己就不会差太远。

一旦决定学数学后，就要享受数学的乐趣。好比下棋，假若对下棋没有兴趣，被逼去下棋就很痛苦。如果你对下棋有兴趣，你就越下越有意思，下到难处更有意思。做数学也一样，碰到难题更有意思，所以一定要培养兴趣。

兴趣需要培养。如果问一个小学生：“你对微积分有没有兴趣？”他当然会讲对微积分没有兴趣，因为他根本不懂微积分。同样地，如果我问你对微分几何有多大的兴趣，在还没有开始学之前，当然不晓得，因为你根本不懂微分几何。你现在有无兴趣，其实是个空洞的问题。只有你真正做进去后，才会发现你对它的兴趣有多大。

【问答录】

问：请问您当初是什么原因或机缘选择做几何研究的？另外，我已经大四了，想学数学。现在好像对分析、几何比较有感觉，可是学到代数和拓扑，觉得很有挑战性，也很想去应战。以您的经验，有什么建议吗？

答：我从前在香港念书时，觉得泛函分析有意思，我想念泛函分析。那我为什么后来对几何有兴趣？因为我去伯克利后，刚好很多人在谈几何，我自己也在看一些几何的问题，就这样做进去了。其实我的兴趣在很多方面，不光在几何。我觉得数学不应当将它们分界得很明显，我也做很多几何以外的其他研究，这是第一点。

弄懂第一个问题后，也容易回答你的第二个问题。因为整个数学的走向，不应当有很大的分界线。你现在念大四，既然对代数、拓扑也大有兴趣，那就应该花很多时间去学习，将这方面的基础打好。你要开放心胸，不要局限在有兴趣的那几门学科上，争取把每一门都尽量念好。

譬如念微分几何，因为微分几何是在一个拓扑流形上才能做，因此要学懂拓扑，才能做微分几何。假如你要学分析，现在有很多人用拓扑的方法去做，用不动点原理，用比较不同的拓扑去做，所以拓扑也要学。不然就像我很多朋友一样，分析学得很好，可是一遇到所谓微分流形上的方程，或一些与此有关的问题就通通不敢碰。将数学分界得太清楚不一定不好，但会有一定的局限性。

一个好的数学家，每一门分支都要学得很好。你现在大四，学了几门数学课？在大学的课程里，每一门都该学好。不要说没有能力做到，事实上你一定可以。现在不把大学课程学好，你以后还是要补课的。因为数学本来无分彼此，不能分科得太厉害。在大学时，不一定就固定喜欢哪一门，但你现在可对某门课兴趣比较大，兴趣也随时可以改变，我想这样比较好。

数学是自然的科学，研究自然的现象。你明白这点，就知道什么重要，什么不重要。有一些数学题目我不愿意做，因为矫揉造作（artificial）。每一个人的观点可以不同，我不愿意做矫揉造作的数学题。我这样看待数学，而不像你们那样按门分类。

数学历史上有许多科目发展到了某一阶段后，不是不行了，而是它们成熟之后，被吸收融合到其他科目中去了，这一领域基本上便不再独立存在。如一般拓扑学，在历史上曾起了重要作用。可是在变成基础知识以后，就被吸收到所有数学领域中去了，我们现在根本就不谈了。一般拓扑学变成一个数学工具后，就不再成为一个领域。数学里面有很多这种课程，讲到某一程度以后，我们对整个理论理解透彻了，就不再需要独立出这门课。假如你刚好学到这门课，而又不愿意学且不懂其他门课，那做数学研究就会遇到麻烦了。

问：听说有些数学家会对哲学等其他领域感兴趣，不知道实际情况怎么样？

答：每一个人在课余的时候，都会有不同的兴趣，这是很重要的。凡是对思考有帮助的科目，你去学它总是有好处的。

哲学对人们的思考有帮助。爱因斯坦就对哲学大感兴趣。他开始在做广义相对论时，讨论过哲学上的问题，也受了哲学一定的影响。我们学数学，主要的精力要用在数学上。学其他对你思考有帮助的学问，对你的专业本身也会有明显的好处。每个人兴趣不同，你可能对文学感兴趣，而我则喜欢看历史，我觉得历史对我帮助大。

问：历史对数学的帮助在哪里？二流数学家做一流题目也算是一流数学家吗？历史经验能帮您选取一流问题吗？

答：历史就是看从前的经验，对不同事物的经验。经验对你在做题目时是有好处的。研究题目的取舍，表面上看很简单，其实有大学问。

第一流数学家，假如他选取的问题总是第二流的，那么他顶多也只能做个二流数学家。一个二流的数学家，假如他选取的题目都是第一流的，虽然他不一定做得完这个题目，可是他如果做到这个题目的二分之一，他也算是第一流的数学家，因为他对整个数学的发展有一定的贡献。

什么叫二流的学问？就是研究琐碎的问题。我们对这类问题都有一定的认识，有很多人不太愿意做，或是有其他的原因不大愿意去做。因为做二流的问题，虽然用了很大功夫做出来了，但对整个数学的进展没有大的帮助。

对研究题目的取舍，往往跟个人的经验有关。如果了解哲学或者历史，这些经验对你会有帮助，念其他书对你也有帮助。比如文学，看某些小说，尤其看经典小说《红楼梦》或《三国演义》（武侠小说不行），你就晓得取舍的问题有大不同。

问：过去数学家发展了很多理论，后来物理学家发现有许多物理理论的结果跟数学的结果一样。最近十年超弦理论的发现，是因为物理学家认为应该用到更复杂的数学，来研究高能物理，所以他们把代数几何或更抽象的数学引进来，您觉得这样走的路会不会是错的？杨振宁说过，这种从抽象数学出发的路对的机会不大，您的看法如何？

答：这个问题看你是怎么讲。爱因斯坦开始做广义相对论时，并没有物理学的支持。他是从哲学或者科学哲学的角度入手，知道要什么，同时有数学工具支持，做成了广义相对论。过了没有多久，就有实验在某种程度上证明了广义相对论是对的。

超弦理论最大的问题，是它不像爱因斯坦相对论那样，有一个坚实的哲学背景。另一方面，我们深信这个学问有很好的想法，某种程度是正确的。目前的问题不是数学上的，而是物理上的哲学背景在什么地方。就好像在钓鱼，你看到鱼竿在那里剧烈地摆动，可是看不到鱼在哪里，也不知道是什么鱼。

不过，从种种迹象来看，它在数学上具有惊人的相容性。作为一个数学家，我认为，超弦是在描述自然界的现象，否则不应当会有这样一个融洽的数学理论在它里面。我们在找它的哲学背景，只是现在还没有找着。现在所有的物理理论都是摄动出来的。摄动和非摄动的关系差得很远，我们希望超弦能找到非摄动的方向。

问：我们用量子场论的方法，也就是用摄动的方法非常好，为什么突然一下跳到超弦这个层次？

答：我想问题不单是超弦，自然界有四种力：强作用力、重力、弱作用力和电磁力。在强作用力下，摄动方法是不够的。超弦中的对偶方法可以将非摄动的现象变成摄动方法加以处理。

问：量子色动力学(QCD)还是一个摄动理论？

答：QCD已经无法完全解释宇宙一些微妙的结构，但是并没有证据显示超弦理论不对。它是有极端美妙的数学来支撑的。这个研究会继续下去。

问：俄罗斯有一位物理学家，认为重力甚至不是一个基本力，他觉得重力不该量子化。如果从这个角度来看，那整个超弦理论就错了，因为超弦理论是为了要把重力量子化。

答：我记得陈省身先生常常跟我讲，四个力在那里很好嘛，为什么要统一它？假如你相信宇宙是在一个很简单的基础上建立起来的，那为什么会有四种不同的力？我们没有办法解释它，那就一定要统一它。就好像数学，平面几何有许多不同的公理、定理，可是为什么我们很高兴找到几个公理，全部将它解释清楚？这个问题是同样的，这是一个信念，我们相信宇宙是由一个简洁的基础建立起来的。我们要找几个公理可以假设，或是几个简单的定律可以解释不同的现象，越简单越好。如果你相信的话，这个问题不存在了。

问：对于大学高年级同学，若是对微分几何有兴趣，有哪些书较适合读？

答：我不晓得你们大学的微分几何念什么书。（答：通常是DoCarmo的书）DoCarmo的书念懂了也很好。微分几何的书其实不少，看你自学还是跟老师学。自学的话，Spivak的那本书写得很详细，好像还不错。Spivak书的好处就是解释得清楚。你要是跟一个讨论班学的话就大不同，因为Spivak不是特别出色的专家，他的书没有涉及微分几何的深奥内容。Spivak的书学完后，将基本内容搞懂，应读其他好书。Milnor的几本书写得好，我从前念微分几何就是从Milnor那本《Morse理论》开始学的，这本书写得简洁紧凑。

问：大学除了数学以外，还有很多其他的学科，我们会想去碰文学或其他的学科。作为一个数学家，您对数学以外的世界有什么看法？

答：我刚开始讲过，第一件事，你一定要决定自己想做什么。无论做什么学问，你都要全神贯注一段时间，一定要学懂这门学问，达到自认是专家的地步。你做得很专以后，其间可能会牵涉到其他学问。不过，你主要的注意力还是在专业上。我一天花十多个小时念数学，当然有其他几个钟头是跟人谈谈其他事情。有时候听听数学课，有时候也听听物理课。不过，我始终都有一个主要的方向和研究课题。我不反对你们去看历史、学哲学、念文学，但要晓得自己的主业在什么地方，什么东西最重要。

一个人的精力毕竟有限。假如一个人认为可以同时既做文学又研究数学，我想他两头都做不好。这种同时做两个完全不同领域的学问，且能做得好的所谓天才，我还没见过。有一些人说要多做社会工作，我不反对，因为你关心社会与研究数学并无矛盾。做数学的同时，可以花点时间去关心社会。即便你花全部精力从事社会活动，我也不反对。不过你在做这个决定的时候，就要知道你的数学会做不好，因为你事实上没有这么大的才能，能够同时专心在两个不同领域的问题上。

可是这并不排除你将数学搞懂以后，你再去搞文学，或者做完文学再来做数学，当然做完文学再做数学要困难一点。很多数学家弹琴弹得很好，唱歌唱得很好，有几个弹琴弹得一流。不过，他们晓得什么是主要的，什么是次要的。偏微分方程做得很出名的Morrey，弹琴也是第一流；Banach空间上算子代数做得很出名的Enflo，跟我共事过，年纪和我差不多，他弹钢琴在瑞典是数一数二的。他是在做好数学再去弹琴的，这里有个先后次序。

问：老师刚刚说做学问要全神贯注。年轻人感情的问题常会造成困扰，老师当年求学是不是也有这种困扰？如何处理这种事情？能不能给个建议？

答：不应当有矛盾。做学问和其他事务，如感情，可以分得很清楚的，我看不出有什么特别大的矛盾。出名的数学家，如Euler，他有十多个小孩，家事很忙。从前做数学与现在不同，比现在辛苦，他要支撑整个家庭，照顾一大堆小孩。可你去图书馆看Euler写的著作，至少几十本文集，单抄书就得抄很久，才抄得完。由此可见，学问和感情并不一定有矛盾。你不可能整天在想女孩子吧？

问：爱因斯坦说过一句话：“专家不过是训练有素的狗。”您怎么评价这句话？

答：首先我不相信爱因斯坦说过这句话。其次什么叫作专家是个很难讲的问题。假如单是重复人家做的，就叫作专家的话，你可以说你的话是对的。你可以做一个擅长考试的学生，每次考试都考得最好，这是训练有素的，你叫他狗也好，叫什么也好。专家不专家实在很难定义，有时候你看小孩子玩电脑游戏，我觉得他们比我懂，他也算是专家。

不要讲一条狗，一条狗其实比机器聪明。现在很多人在做计算机应用，训练计算机研究题目或者定理。目前还差得很远，最简单的就是“品味”的问题没有办法解决，对选题是否有意义的感觉。一条定理好或是不好，这个问题机器没有办法决定，狗也没有办法决定。假如你所谓的专家是这样子的专家，他当然没有办法决定。

我觉得怎么认定你做的题目有没有意思，是第一流的还是第二流的，这是一个严肃的问题。微积分和加减乘除既然有区别，那么研究当然也有高下之分。假如你连这点都没办法分开，我们就不能讲是高层次的研究。

问：我们大一要念计算机概论。有人说懂一些计算机对我们将来学数学会蛮有用的，又有人说没有用。请问，计算机跟数学有多大的关系？

答：我前面讲过，只要你学到一门严谨的学科，对你的学问总是有好处。计算机基本上也是一样。尤其是我们做数学研究，开始时并不一定清楚我们要什么东西，不晓得什么是对的，什么是不对的，但做研究的趣味就在这里。

假如我们自己知道什么是对、什么是错的话，当然还是可以再去证明。不过，最有意思的是，无法确定什么是对、什么是不对的时候，这时我们往往要做实验。数学上的实验很多是用计算机做的。现在因为计算机比从前高级多了，所以对纯数学研究有很大的帮助。跟刚刚找题目的意思一样，我们找找看有没有办法找到一定的规律出来，然后再找我们要求的定理是什么。你除了单在脑子里猜外，还可以让计算机帮你算。譬如研究非线性常微分方程和非线性偏微分方程，你很难预测它大范围的行为是怎么样的。假如你精通计算机，你可以用计算机算算它怎么走法，这对你帮助就很大。我不懂怎么做数学实验，就找人家帮忙。所以你能够在大学学懂编程，做一个好的数学实验，本身是一个很重要的素质。

问：16、17世纪的数学家，好像涉及领域比较广，比如物理、天文方面，现在的数学家好像比较专注于数学，似乎不大一样，对不对？

答：其实没有不一样。问题是现在的天文、物理比从前难，我们观测到的数据多得多。就实验物理来讲，我们做数学的很难去接触，并不是我们不想，是因为数据实在太多了，很难处理。我们现在跟理论物理的关系，和16、17、18世纪也差不多。不过那时学问分得没有这么细，所以当时看起来好像数学和物理密切一点。过100年重新看20世纪的数学跟物理的关系，我想不见得差很远。

首先因为我们生在这个时代，很多东西看起来比较散乱；其实过了100年后，我们现在做的学问大部分都被忘掉了，剩下几个重要的，所以到那时候看可能清楚一点。16、17世纪的学问，很多东西根本就不见了，所以你看不出来。只看到几个主要的人物，比如牛顿、莱布尼茨。因为你单看到这几个人的工作，所以看起来好像每个人都涉猎很广的样子。过100年以后，你再看这个世界的工作，也是只能看到几个人而已。图书馆里面，每天可以找到很多发表的文章，可大部分文章都会消失不见了，这是你可以想象得到的。

问：那些看不见的东西，有没有它的价值？

答：你的问题应这样理解。就像打仗一样，几十万人去打仗，结果几十万人你都不记得他们的名字，只记得几个将军，或者几个国家。他们不重要吗？他们当然重要。

问：您会不会觉得我们现在学的东西相对以前要困难很多？譬如说平面几何，以前是第一流的数学家在做的，现在我们拿来当基本工具。

答：跟我刚才讲的意思是一样的。很多东西当时是难，过了50年以后，你再看这些东西就简单了。想想在几十年前，除了几个出名的物理学家以外，可能所有的物理学家都认为量子力学是很难的问题，而现在每一个人都在运用它。

我们刚做研究时，会觉得难。因为有不同的理论在里面，不同的理论可能会有错的或不完美的，最后你要丢掉它。当你丢掉这些有错或不完美的理论以后，所做学问就干净，容易懂。这样我们一边做，一边将整个学问了解得清楚很多，之后这个学问变得清晰，吸收了其他不同理论的概念，其他不同理论就不见了。举个例子，当年高斯计算很多微分几何问题，对当时而言都是很神秘的。高斯的一个著名定理说，曲率是内蕴不变量。记得我上大学时，写得很复杂的等式，看起来难得不得了。可是在你懂微分几何后，你就觉得这是很简单的结论。很多计算或很多重要的理论，时代久远以后，慢慢将它融合，变成一个数学观念，就不再是工具。这个观念你接受后，根本不会觉得困难。

所以我不觉得我们现在的科学会比以前难得多，而是我们刚好在这个时候发展科学，很多观念还没弄清楚，才觉得困难。

问：可是整体上知识的累积还是越来越多？

答：目前为止，我们的脑袋可以容纳这些知识，并不见得特别困难。因为知识不断地累进，我们不断地消化它。一个好的定理在刚出来时，往往难得不得了，几百页的证明。比如Picard定理，当时Picard证明这个定理时，写了一百多页的证明。现在Picard定理的证明可以一页多就写完了。这是什么原因？如果说这个定理重要，人们就会花大力气慢慢将它消化，直到最后的定理变得简洁易懂。一般地，重要的定理在十年二十年后，它的证明会变得简单，因为人们通常会将这些定理的证明分解成很小部分，各个小部分吸收到不同地方去，最后剩下的是一个普通的证明，历史上所有的理论发展都是这样。比如平面几何，在古埃及时代，由于阿拉伯人一把火把埃及亚历山大图书馆烧掉了，埃及当然是没有多少文献留下来。不过我相信埃及造金字塔两千年，图书馆中一定收存了很多关于平面几何的定理和事实。当时没有欧氏公理，所有的现象很乱，乱得不得了，这边一条定理，那边一条定理，你可能觉得很难很难。可是等你将定理整体了解之后，就变简单了。

问：通常一个数学问题，会衍生出好多个问题来，但是数学家增加的速率远比问题增加的速率小，会不会造成一大堆问题做不完？

答：这个问题不大。譬如平面几何，到现在还有很多难题。你去看Erds的问题集，很多平面几何问题还没有解决。没解决并不表示我们不懂平面几何。我们对平面几何基本上是懂的，可是有未解决问题，这并不表示不好，而是表示这个领域还是很活跃的，还有很多问题可以做。反过来说，一个领域里面，如果没有未解决的问题，表示这个领域已经被我们了解透彻了，没有东西可以让我们继续再做下去。这个领域就可以说是枯竭了。

问：如果您现在从头再当大一学生，整个生活可以按照自己理想安排，您会怎么安排大学一直到研究所的生活？

答：我从前当学生的过程和现在不一定一样，因为时代不同。那时的香港和你们这个时代不同。譬如，你们比我们富有得多，我们那时根本没有钱。你们现在找图书没有问题，没有人会抱怨图书不够，现在专业工具也完备多了。我们那时在香港要找一篇文章或一本书都很难，找到后有没有钱去买，也是一个大的问题。那时老师水平也不如你们现在的老师，老师拿博士学位就很了不起，大部分有硕士学位我们就觉得很不错了。所以我的大学经验和你们的相比有很多不同。你们现在跟我在研究院时差不多，有好的研究条件，借书什么都不成问题。

但是那时候我能够全神贯注于数学。我在研究院一年半里，伯克利能够讲授的所有数学课程我基本上都听过。有时还在课堂里讲课，不单是听课，所以要花很多时间。我不相信你们愿像我一样花那么多时间去做数学。大学和研究生时期，最容易花时间去念书，也是了解数学全部基本工具的最好时候。毕业以后，有种种不同的因素限制，要重新再学基本工具就困难得多了。所以你有多少时间就尽量花多少时间学习，基本课程要尽量学，甚至你能去念理论物理，去念理论化学都很好，看自己的兴趣，这对你会有很大的帮助。当然你对实验物理也有兴趣最好，只是这样你不会来念数学了。

问：在大学时代，尤其像我们大一学生应看些什么课外书或杂志？因为大一，很多东西还没学，应该多看多学不同的东西还是多做练习？譬如平面几何的练习或高中、大学的练习？

答：不能笼统地这么讲，要看每一个人的程度。如果大一基本功课还没学懂，你还能看什么课外书？你们大一线性代数学不学？主要是学微积分，念懂了没？念不懂就不要讲什么了。要将微积分学得很透，不要以为你要学代数，所以就不念微积分，这是不可能的事。微积分在代数里面很重要，所以你要将微积分学得透彻。

教科书一定要读懂，习题要懂得做，这是第一点。做习题不是为了考试，而是检验一下你对书里面内容了解多少，然后根据你自己的兴趣再去看课外书。比如Hardy-Littlewood很多文章和书，其实跟微积分都大有关系，或者你去看Fourier分析，可以研究分析怎么应用到数论。参考书很多，尽量多看一些。当然这跟每个人的兴趣有关系，代数、线性代数都可以。

问：现在教科书，像微积分这类书，越写越厚，习题一大堆，您的看法如何？

答：微积分至少有一千多本书，我不可能都看过。我们从前读的老教材，其实都不错。我们大学时读Apostol写的书，有两本，到现在还觉得挺好。在大学一年多时间里，我从那两本书中学了不少东西。里面习题有一本容易做，另一本较难，都可以学学。英国学者如Courant或Hardy的书，都写得不错，他们是分析专家，写的书有一定深度。其实我在中学时看过Hardy写的《不等式》，是本好书。这本书对你以后的学习帮助会很大，了解不等式是怎么推导的，多学怎么用不等式这个技巧，我觉得很有意思。

一般认为，奇特的东西不一定就重要，像泛函分析、希尔伯特空间，并不见得最重要。微积分里许多基本工具很重要，解题方法也很重要。

问：我们上数学课时，往往感觉证明很长很长，弄不懂为什么这么证，又是怎么想出来的，念完整个领域，也搞不懂它在干什么。

答：这是一个很重要的问题。学生往往背下方法，记下证明，以为基本上将定理背懂了，当然考试可以得高分。不过，对于一个定理，首先你要了解，这个定理有什么意义，为什么要证明这个定理，为什么要这样证明，这是第一步。然后，你想想假设你不懂这个证明以前，你怎么看待整个问题，会怎么去做，这是很要紧的。为了了解这个定理，你应该想办法，将整个定理看看有无办法推广，推广这个定理，最广泛的情形是什么样子。我不是要你为了推广定理而推广，而是因为这是一个学习的方法。从推广的过程，你会慢慢地了解这个定理的证明。你随便找个定理给我，我可以跟你们讲大概怎么去推广它。

问：像隐函数定理？

答：你虽然没有学过希尔伯特空间，不过你可以在二维空间上，试试看你有没有办法写下隐函数出来。隐函数定理就是从一个方程式，比如两个变量的，F(x,y)=0，试试找出y=f(x)满足这个方程。想想怎么去找，你自然就会明白，隐函数定理是怎么证的，回家试试看吧！

隐函数定理是用迭代的方法证明的，整个隐函数定理的步骤也是如此。你可以试写下一个具体的方程，试试怎么证明，你就可以知道整个思路的过程。如果有计算机，你可以试试整个迭代过程，计算机是怎么一步步操作的。运行几次以后，你就可以比较清楚怎么走，然后你可以改进算法，了解整个思路是什么样子。这类方法很多人不一定想过。不过，在不断改进的过程中，你对这个问题会了解更多。

隐函数定理推广到希尔伯特空间上面去以后，就成为一个重要的偏微分方程的方法。你可以试试隐函数定理在希尔伯特空间是怎么做的，这个推广很重要。你可能还没有学过希尔伯特空间。不过你大可试试，因此将希尔伯特空间学好，明白无限维空间是怎么回事。应用隐函数在希尔伯特空间上，这可以用来解微分方程。

隐函数定理是不动点定理的应用，你就会知道整个不动点怎么用，迭代压缩映射，可以有很多不同的做法。有很多人一辈子在做隐函数定理的应用。

一个数学问题，可以找到很多不同的讨论角度。最简单的问题都可以找到很多不同的有意思的地方，这样才会将数学学得比较活一点。

问：请问丘教授在大学时代，对数学就是这样尝试的吗？

答：为什么不呢？反正有时间嘛。上大学其实最舒服，你做问题做不到也没有关系，做得到最好，就有兴趣。譬如，你玩玩计算机，觉得好玩，就玩下去，不好玩就找另外一个问题再做，没有谁讲你今天做不出来就不行。所以，我想这跟游戏差不多，其实跟念文学也差不多，主要是看你有没有兴趣。你觉得有兴趣就继续玩下去，没有就算了。

问：您以前上学的时候，有没有碰到念书的压力？

答：这个问题看你说的是什么样的压力。比如，你总是希望考试拿到高分，尤其微积分考算式，看你算得准不准，但你怕算错了，这种压力当然有。不过如果你将整个微积分学懂了以后，这压力就不大了。要你微分、积分，你基本上会做，不过就是要稍注意下细节而已。譬如做积分考题，积分结果是否刚好是它的答案，你当然会有这种压力。同时积分要用到不同的技巧，有不同的方法，你当然希望多学一些技巧，担心考试刚好要用到这个技巧，这种压力总是有的。另一方面，如果你对整个学问基本懂了，那么你会比别人更没压力。中学、大学都会有这种压力，有压力好过没有压力。假如没有压力，有时候你会觉得根本没有意思。

不可否认，每个人都有惰性。无所事事，不写文章，你就慢慢吞吞、松松垮垮的。可是做学问没有这么简单，你要全盘了解学问，一定会有压力，这种压力对你进步是好事。

当学生时，会把考试看得较重。其实考试的压力比以后要写篇好文章的压力轻多了。考试的压力，就是在考前几天，顶多十几天，你觉得备考很辛苦。可你毕业以后，要作篇好文章，有时你会觉得很渺茫，怎么晓得有无好想法。当然，只要用功的话，你总有一些好的想法。只要坚持不懈，你可以试10次，10次不中，也许第11次中了就行。这跟下棋不同，下棋下错了落子无悔，不能重新改变。做研究你改变10次都没有关系，错了就用另一种方法。问题是，你错了10次，假如没有压力，不成就算而放弃不做了。如果有点压力的话，就再试第11次，你可能就成功了。所以我觉得有压力是好事，不是坏事。

据我所知，所有好的数学家或是科学家，在研究学问时都面临压力。有些人吹牛他完全没有压力，很潇洒的样子，那是装出来的。近代科学家，最出名、最潇洒的是Feynman，他的物理课讲得很出名，他演讲潇洒，举手投足之间，什么东西都讲得清楚，一副轻而易举的样子。其实每一个人都知道他花了很多功夫备课。Milnor写书写得好，他也是花费了很多的时间。

世界上没有一种学问是不花功夫，就可以得到很好的结果。有的人可能是思考了很久以后，突然有段时间暂时放下，然后重新再想想出来的。他想出结果时，好像不费吹灰之力，其实是已经花了很多时间。爱因斯坦是著名的物理学家，他研究广义相对论、量子理论花了很多功夫，天天都在想这个问题。

比如同行间为了竞争做同样的课题，就会产生学术竞争的压力。这压力说是其他人给的也好，说不是也可以。其实并没有特别理由一定要将那个题目解出来，所以这种压力跟你的兴趣和好胜心有点关系。科学家总是面临一定的压力。很多人吹牛说：“我是一个大天才，我今天要想出来就能想出来。”其实根本没有这种事，很多人是做样子给你看。第一流的数学家不会跟你这么讲，因为第一流的工作是尝试了很多次才做出来的。

问：请问丘老师，好几年前，我们常常听到美国有一些很聪明的华人学生，得到西屋(Westinghouse)科学奖。可是，过了一阵子后，这些人好像都消失了。那些聪明的华人都跑到哪里去了？以您在美国多年的经验，怎么看这件事？是不是就像您刚才讲的，都跑去赚钱了？

答：得西屋奖（现美国科学天才奖）我觉得很好。一个学生要多方面思考才做得出来，当然也离不开老师、家长的帮忙。据我所知，拿西屋奖的华人，大部分都是很能干的科学研究人才。华裔拿了西屋奖以后，因为其中大部分人都不念数学，所以我不太了解他们的前途是怎么样的。

很多出名的公司里面有很多出色的华裔工程师，因为他们与学术界的联系并不是那么密切，所以我不一定听过。

前些年中国学生念数学的不多，原因就是学工程学、商学赚钱比较容易。最早出国留学，尤其到美国留学的学子，基本上念理论科学。那个时候出国学数学、物理的很多，他们也很用功。有不少为了学问而学问的人，不过多数是为了出国而念的。大部分学数学的，可能是对数学兴趣大点才来学的。中国有十多亿人口，要找到学数学的人和好的人才还是有的。

问：我们在做作业解题的时候，常常想了很久都不知道该怎么办，可是翻开解答一看，它的想法实在非常怪异，我们要如何去了解这种怪异的想法？它在我们学习数学的过程中扮演什么样的角色？对我们整个思想又有什么影响？

答：我不懂你说的什么叫怪异。一个数学题目的解决，往往有很多不同的途径，尤其你们还没有做研究的经验。你讲的怪异是花了很多功夫来解决，或是很自然的解法？

问：只需几个步骤就解决了，令人惊讶。

答：其实你能够惊讶就很好，说明看懂了解决的方法，就很难忘掉解决的方法。假如你不惊讶就背下来，可能很快就忘掉了，这对你根本没有好处。每一个解决问题的方法，假如跟标准的书里的解法不同，这是多了解决一个题目的方法和工具，逐渐积累起来以后，就是等于一个工程师口袋里有很多不同的小工具。等你做其他问题的时候，这个工具可以重新再用。所以为什么学生应当去解题目就是这个缘故。一方面你了解一门数学的大方向，另一方面你口袋里面能储备很多工具。

有很多人爱讲哲学、讲理论，“认为数学什么什么样子”，结果真正到了要解决问题的时候，口袋里面没有什么工具。就像盖一个大房子，你可以知道大概的工程是怎么做的。可是仅仅这样是不够的。因为要去盖房时，就会发觉这边要上螺丝，那边要上铁条，你不懂这些就盖不起来，做题目也是如此。如果你没有想之前就看那个解答，看了以后，这很简单嘛！基本上就是这边乘一乘，那边除一除就行了。可是，你先想那个题目，再去看解答，你才了解，这个解答并不是那么容易的，你做就做不出来，为什么他就做得出来？所以你一定要先想题目再看解答，一定要学会这种工具。要学会这种很奇异的解答方法，学会以后，第二次再出现同样的问题，你就可以用。

（end）

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