转载请注明本文链接
及文章作者：slandarer
HEY， 各位这次是真的好久不见，本期推送来教大家如何使用MATLAB推公式并使用推出来的结果。
本文说白了就是讲符号表达式这个东西咋用，所使用最重要的函数就是syms，在开始前，首先要保证自己的MATLAB安装了Symbolic Math Toolbox工具箱！
1 公式显示
展示一下如何使用m-文件和实时编辑器使用syms函数并如何显示结果：
脚本(m-文件)
首先假如在m-文件编写如下代码（使用syms函数将x y 设置为符号变量，并生成了简单的公式，使用pretty函数更美观的展示公式），则运行结果如下：
syms x y
% syms x
% 等价于
% x = sym('x')
f = sin(x^3/y) + (y^3/x)
pretty(f)
% f =
%
% sin(x^3/y) + y^3/x
%
% / 3 \ 3
% | x | y
% sin| -- | + --
% \ y / x
实时脚本
创建实时脚本：
输入公式并运行：
结果显示：
2 常用函数
展示一下常用的积分，极限，累加和等函数都是哪些？我们直接拿真正的数学题来算算得了：
不定积分与定积分(int)
吉林大学2021年数学分析题目(一(5))
求积分
syms x
f=1/(2 + tan(x)^2);
int(f)
ans =
吉林大学2021年数学分析题目(一(6))
求定积分
syms x
f=asin(x/(x + 1));
% 变量是 x，积分上下限 0 - 3
int(f, x, 0, 3)
ans =
极限（limit)
吉林大学2021年数学分析题目(一(3))
求极限
这里对积分涉及菲涅耳函数一般肯定算不出来，得洛，但MATLAB就直接硬刚就完事了嗷。
syms x t
f = (x^2 - int(cos(t^2), t, 0, x^2))/(sin(x))^10
limit(f, x, 0)
f =
ans =
级数(symsum)
吉林大学2021年数学分析题目(一(9))
求级数的和.
syms n
symsum(1/(2^n)/(2*n - 1), n, 1, inf)
ans =
导数(diff)
求的三阶导数：
syms x
f = asin(x)/sqrt(1 - x^2);
diff(f, x, 3)
ans =
泰勒展开(taylor)
中国海洋大学2021年数学分析题目(1(2))
求二元函数在(0,0)到4阶项的泰勒展开式。
syms x y
f=log(1 + x^2 + y^2);
taylor(f, [x,y], [0,0], 'Order',5)
ans =
3 变量格式
我们可以用syms函数将字母变成符号变量，也能变成符号函数，符号矩阵，同时也可以设置变量的一些属性，比如非负性等属性。
符号变量性质
可以设置为 real | positive | integer | rational
比如我们运行如下代码，能看出预设变量是正数和不做预设的区别：
syms x
f1 = sqrt(x^2)
% f1 = sqrt(x^2)
syms x positive
f2 = sqrt(x^2)
% f2 = x
大家可能会好奇，嗯?只能设置为positive正数嘛，我想设置为负数咋办？更加复杂的设置可以通过assume函数来完成：
再随便举个例子：
syms x
f = 1/abs(x^2 - 1);
int(f, x)
% ans = -atanh(x)/sign(x^2 - 1)
assume(x^2 - 1 > 0)
int(f, x)
% ans = -atanh(x)
符号矩阵
syms X [3,4]
X
X =
syms 'X_a%d%d' [2,2]
X_a
X_a =
符号函数
syms f(x,y)
M = f(2,3) + f^2
M(x, y) =
符号函数矩阵
syms f(x,y) [2,2]
f
f(x, y) =
将符号函数矩阵的元素替换的方法还是挺奇怪的：
f1_1(x,y) = 2*x;
f2_2(x,y) = x^2 + 1;
f = subs(f)
f(x, y) =
再带入数值：
f(2,3)
ans =
抽象矩阵
R2021A版本及以后，矩阵符号运算也被支持啦！！
x = symmatrix('x', [5,1]);
A = symmatrix('A', [5,5]);
% 等同于：
% syms x [5,1] matrix
% syms A [5,5] matrix
f = x.'*A*x - x.'*x
H = diff(f, x)
inv(A)
f =
H =
ans =
抽象复合函数
举个例子：
syms f1(x,y) f2(x,y) F(x,y)
dFdx = diff(F(f1, f2), x)
求解结果：
dFdx = D([1], F)(f1(x, y), f2(x, y))*diff(f1(x, y), x) + D([2], F)(f1(x, y), f2(x, y))*diff(f2(x, y), x)
在实时编辑器中的显示：
dFdx =
再举一个例子：
syms f(a,b) x
diff(f(x^2, x+1), x)
ans =
4 公式化简
simplify
使用simplify函数可以对公式进行化简，例如：
syms x
M = [(x^2 + 5*x + 6)/(x + 2), sin(x)*sin(2*x) + cos(x)*cos(2*x);
(exp(-x*1i)*1i)/2 - (exp(x*1i)*1i)/2, sqrt(16)]
S = simplify(M)
M =
S =
公式化简不到位
我们使用simplify时可能会遇到化简化的不完全的情况，例如：
这个积分化简出来应该是个常数，但是simplify化简出来是个公式：
syms x
f1 = (x^2 + 1)/(x^4 + 1);
f2 = int(f1, x, 0, inf);
f3 = simplify(f2)
% f3 =
% (2^(1/2)*(4*pi - log(- 1/2 - 1i/2)*1i + log(- 1/2 + 1i/2)*1i - log(1/2 - 1i/2)*1i + log(1/2 + 1i/2)*1i))/4
明显化简的不够完全，可以多化简几步例如直接1000步：
f3 = simplify(f2, 'Steps',1000)
% f3 =
% (pi*2^(1/2))/2
当然不同化简步数有着不同结果，例如：
不同化简步数
举个例子：
syms x
expr = ((exp(-x*1i)*1i) - (exp(x*1i)*1i))/(exp(-x*1i) + exp(x*1i));
S = simplify(expr)
S10 = simplify(expr, 'Steps',10)
S30 = simplify(expr, 'Steps',30)
S530 = simplify(expr, 'Steps',50)
特殊化简
同时有些先平方再开方，或者外面套着ln函数的不好化简，可以设置IgnoreAnalyticConstraints属性为true.
syms x
expr = (log(x^2 + 2*x + 1) - log(x + 1))*sqrt(x^2);
S = simplify(expr)
S = simplify(expr, 'IgnoreAnalyticConstraints',true)
不同化简格式
使用All属性函数可以获取全部等效化简：
syms x
expr = cos(x)^2 - sin(x)^2;
S = simplify(expr, 'All',true)
也可以和化简步数结合：
S = simplify(expr, 'Steps',10, 'All',true)
5 公式格式
就我化简出来既有 也有 ，但我偏偏不要，欸哪怕有复数我也要全 的公式？怎么自由进行公式替换？
先从一个最简单的例子来看叭，假设我的公式是 我想自动让MATLAB将其替换为纯 的公式咋办？此例子与问题来自@丁丁曜曜.
方法一 All 属性
可以使用 simplify 函数化简的时候选择 All 属性为true，就能展示所有的等价化简:
syms x
expr = sin(x)+cos(x);
S = simplify(expr,'All',true)
% S =
% 2^(1/2)*sin(x + pi/4)
% 2^(1/2)*cos(x - pi/4)
% cos(x) + sin(x)
例如题目中的式子就有三个等效化简，我们选择第一个只含 的化简即可：
S(1)
% 2^(1/2)*sin(x + pi/4)
方法二 sin 函数重写
借助rewrite函数，使用sin函数重写表达式并化简：
syms x
expr = sin(x) + cos(x);
simplify(rewrite(expr, 'sin'))
% 2^(1/2)*sin(x + pi/4)
方法三 subs 替换
可以在化简前先把所有的 使用 进行替换，再使用 simplify 函数化简，就可以得到只含有 的公式：
syms x
y = sin(x) + cos(x);
% y = sin(x)+cos(x)
y1 = subs(y, cos(x), sin(x+pi/2));
y2 = simplify(y1)
% y2 = 2^(1/2)*sin(x + pi/4)
pretty(y2)
% / pi \
% sqrt(2) sin| x + -- |
% \ 4 /
方法四 combine 函数结合
不过只能生成cos的表达式：
syms x
expr = sin(x) + cos(x);
sc = combine(expr, 'sincos')
% 2^(1/2)*cos(x - pi/4)
注：只能合并生成cos表达式是因为合并各项使用的公式导致的：该函数用的不是特别多，详细描述可自行查看：
https://www.mathworks.com/help/symbolic/sym.combine.html
以下是更多与格式相关的函数讲解：
expand 详讲
与 combine 函数函数相对，expand 函数可以把公式展开：
syms x y
expand(cos(x + y))
% ans = cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y)
rewrite 详讲
再详细讲讲rewrite这个函数叭，很有意思，能重写的格式很多，例如 用 重写：
syms x
sin2exp = rewrite(sin(x), "exp")
用 重写：
syms x
acos2log = rewrite(acos(x), "log")
全部重新格式：
更多格式转换
其他特殊公式的特殊格式改写，请参见以下网址：
https://www.mathworks.com/help/symbolic/choose-function-to-rearrange-expression.html
取消简写
一些复杂公式若有重复的部分则会自动简写，例如：
syms a b c d x
f = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d;
outputAbbrev = sin(f) + cos(f) + tan(f) + log(f) + 1/f
outputAbbrev =
where
可使用以下代码取消简写：
sympref('AbbreviateOutput', false);
outputLong = sin(f) + cos(f) + tan(f) + log(f) + 1/f
outputAbbrev =
5 公式使用与导出
公式用于数值计算
一个很简单的带入数值的方法：
syms x y
f = (x^3 + y^2)^(log(x/y));
M(x,y) = f;
M(1,2)
% ans = 1/5^log(2)
M(1,x^3)
% ans = (x^6 + 1)^log(1/x^3)
M([1,1],[2,3])
% ans = [1/5^log(2), 1/10^log(3)]
fsurf(M)
除此之外可以使用subs函数进行元素替换：
syms x y
f = (x^3 + y^2)^(log(x/y));
subs(f, [x,y], [1,2])
% ans = 1/5^log(2)
还可以转化为效率更高的匿名函数：
syms x y
f = (x^3 + y^2)^(log(x/y));
F = matlabFunction(f)
% F =
% 包含以下值的 function_handle:
% @(x,y)(x.^3+y.^2).^log(x./y)
F(1, 2)
% ans = 0.3277
F([1,2,3], [2,2,2])
% ans = 0.3277 1.0000 4.0243
变换成匿名函数依旧可以直接用fplot, fsurf等函数绘图：
syms x y
f = (x^3 + y^2);
F = matlabFunction(f)
fsurf(F)
摘取矩阵的部分元素
假设我们求出公式来是个矩阵，但我们只想要他的某个元素而并不想要整个矩阵，那该咋办呢？直接使用formula函数即可获取矩阵每个位置的元素，再通过索引获取即可：
syms x
H = [x^3, x^2 + 1; x, log(x)]^3;
HM = formula(H);
HM(1,1)
% ans = x^3*(x*(x^2 + 1) + x^6) + (x^2 + 1)*(x*log(x) + x^4)
公式存储
我们可以通过matlabFunction将结果存储为一个可调用的函数：
syms x
sols = root(x^5 - x^4 - 1,x)
matlabFunction(sols, "File","myfile.m");
存储结果：
function sols = myfile
%MYFILE
% SOLS = MYFILE
% This function was generated by the Symbolic Math Toolbox version 24.1.
% 2024-07-10 22:53:59
t0 = roots([1.0,-1.0,0.0,0.0,0.0,-1.0]);
t2 = t0(1);
t0 = roots([1.0,-1.0,0.0,0.0,0.0,-1.0]);
t3 = t0(2);
t0 = roots([1.0,-1.0,0.0,0.0,0.0,-1.0]);
t4 = t0(3);
t0 = roots([1.0,-1.0,0.0,0.0,0.0,-1.0]);
t5 = t0(4);
t0 = roots([1.0,-1.0,0.0,0.0,0.0,-1.0]);
t6 = t0(5);
sols = [t2;t3;t4;t5;t6];
end
当然也可以存储为mat文件：
syms x
f = x^2 + 3;
f = matlabFunction(f);
% 存储为mat文件：
save test.mat f
% 导入mat文件并使用：
T = load('test.mat');
T.f(1)
% ans = 4
公式美化
为了导出的时候比较好看，可以对公式格式进行适当调整，注意，要是有不低于R2019b版本的MATLAB才有此功能：
syms K
A = [-1, 0, 1; 1, 2, 0; 1, 1, 0];
B = K^2*A
B =
让其按照我们想要的格式进行输出：
displayFormula("B = K^2*A")
公式标注
通过下划线和双下划线为变量添加角标：
syms F_a F_b
Ftot1 = F_a + F_b
Ftot1 =
syms F__a F__b
Ftot2 = F__a + F__b
Ftot2 =
再比如加入点：
syms x x_dot x_ddot c m k
eq1 = m*x_ddot - c*x_dot + k*x == 0
eq1 =
更多标注：
suffix = ["ast"; "dag"; "deg"; "hat"; "tilde"; ...
"vec"; "bar"; "ubar"; "dot"; "ddot"; "tdot"; ...
"qdot"; "prime"; "dprime"; "tprime"; "qprime"];
accentList = [suffix, sym("x_" + suffix)].'
公式导出
如果是在m文件编写的公式，可以使用latex函数将其转换为latex代码：
syms x
S = [sym(1)/3 x; exp(x) x^2]
latex(S)
% ans =
% '\left(\begin{array}{cc} \frac{1}{3} & x\\ {\mathrm{e}}^x & x^2 \end{array}\right)'
当然也可以转换为mathml:
mathml(S)
% ans =
% '<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML' display='block'>
% <mrow>
% <mo form='prefix'>(</mo>
% <mtable>
% <mtr>
% <mtd>
% <mfrac>
% <mn>1</mn>
% <mn>3</mn>
% </mfrac>
% </mtd>
% <mtd>
% <mi>x</mi>
% </mtd>
% </mtr>
% <mtr>
% <mtd>
% <msup>
% <mo>ⅇ</mo>
% <mi>x</mi>
% </msup>
% </mtd>
% <mtd>
% <msup>
% <mi>x</mi>
% <mn>2</mn>
% </msup>
% </mtd>
% </mtr>
% </mtable>
% <mo form='postfix'>)</mo>
% </mrow>
% </math>
% '
对于一部分版本的word，该代码是可以直接复制到word并转换为公式的，对于不能直接复制的情况，可以先复制到mathType再将其复制到word文档：
如果是在实时编辑器编写的代码，可以点击公式右上角三个点：
文件导出
如果在实时编辑器进行编写，可将图文导出为各种常用格式：
参考
https://www.mathworks.com/help/symbolic/syms.html https://www.mathworks.com/help/symbolic/simplify.html https://www.mathworks.com/help/symbolic/rewrite.html https://www.mathworks.com/help/symbolic/sym.combine.html https://www.mathworks.com/help/symbolic/simplifysymbolicexpression.html https://www.mathworks.com/help/symbolic/choose-function-to-rearrange-expression.html https://www.mathworks.com/help/symbolic/formula-manipulation-and-simplification.html https://www.mathworks.com/help/symbolic/add-subscripts-superscripts-accents-to-symbolic-variables.html
完
本文编写查阅了大量信息，编写不易，如果觉得有用的话欢迎评论转发点赞点在看！我们下期推送再见！
