数学是思维的学科，学习数学主要是锻炼思维，而锻炼思维的必要环境是学生独立思考，突破关键点。
定理证明是最好的习题。从小学到高中到大学，定理证明公式推导贯穿始终，如小学低年级学乘法时，对于乘法交换律的理解，一定要让孩子思考为什么3×4=4×3，为什么3+3+3+3=4+4+4，难道这是巧合吗？非常遗憾，现在的教材居然说，3×4和4×3是意义一样的，这是不负责任的说法。应该先让孩子理解为什么3+3+3+3=4+4+4，得到a×b=b×a这个重要结论，再说他们的结果相同，而不是意义相同。乘法来源于加法，加法来源于数数，可以通过数数来理解乘法交换律。乘法教学中应该是乘法的定义和乘法交换律同时进行学习，统一于加法。而不能说3+3+3+3就是4+4+4，这是非常不负责任的。结果相同不代表意义相同，实际上3×4和4×3意义是不同的 。
又比如乘法口诀表，应该先推导再记忆，推导过程就是不断强化乘法的概念，推导过程中学生自然会体会到乘法分配律。比如推导出了3×4=12，再推导4×4时，聪明的孩子就会知道4个4就是3个4再加上一个数，12+4=16，后面的也同理。这个过程他就明白乘法的本质是加法。如果你只是让他死记硬背乘法口诀表，她都不知道5×6代表什么，这种记忆的意义是什么呢？
还比如有不少孩子不知道342是什么意思，342=300+40+2=3×100+4×10+2，这是分拆，也是数的意义，这样做的作用是学生以后可以从十进制自然过度到n进制，非常自然。也就是教学要有整体性，现在的内容不能把后面的堵死，打开一扇门，给一点提示，聪明的孩子会生成出不少知识。
到了小学高年级一样，需要推导的东西更多，比如为什么分数乘以分数是分母相乘作为分母，分子相乘作为分子。初中一样，每一个公式都要讲道理，知道他的来龙去脉。高中也一样，公式推导更多，更重要。
学习数学中最怕的是什么？最怕的就是不知道概念，尤其是不知道定义，只是背住公式拼命练习。比如用竖式运算两位数乘以两位数，为什么可以算?不理解直接用套路算，拼命练习，做到非常熟练，这是普遍做法，也是误区。以至于学生到了初中都不知道3×4是什么意思。如果你不理解竖式计算的算理，你用手算12×16，和我用计算器按12×16，有什么区别呢？
高中的对数运算性质的证明，是非常好的题目。学生通过推导强化对数的概念，知道对数的问题需要用指数解决，因为对数就是用指数定义的。后面遇到对数问题，自然想到指数这个工具。这既是本质学习，也是强化转化思想，把未知转化成已知，把不熟悉的转化成熟悉的，这是一般的思路。
现在一个非常普遍的误区就是从小学到高中，学生不关心算理，只是背住一个套路拼命训练，做大量题目，熟悉这种套路。大家想一想，这种训练有效吗？他都不理解原理，你练得再多，就理解了？你大量练习无非是提升速度，你再快有计算器快吗？人与机器的区别是什么？人是有逻辑的，人是有思维的，人是有创造能力的。如果不关心算理，拼命训练，这不就是将人往机器方面培养吗？
现在的科技方向是将机器培养成人，让机器智能化，让机器有学习能力。我们怎么可以反过来，把人往机器方向去培养呢？
不过还好，我们国家已经看到这种现象，正在通过高考中考等重要考试作为指挥棒，将孩子的数学学习往正确方向指引。从2022年开始 ，我们的高考数学以考察学生的思维和学习能力为主，让拼命刷题的人考不到高分。从今年开始，好几个省份的中考题，也强调了代数推理和学生的学习能力的考察。不管高考还是中考，都在遵循中央2020年提出来的打击“死记硬背”和“题海战术”的精神。
数学的功能是培养人的思维，尤其是创造性思维。现在普遍存在的将学生往机器培养的这种做法，不会有任何活路。
我们不是说练习没用，而是说要在理解算理的基础上进行适度练习，强化理解。适度就是不能少，更不能多。如果一道题算很久才算得出，就说明练习量不够，如初一学生解一元一次方程2(3x+5)=8x ，如果一分钟之内做不出来 ，那就是不够，这种要在理解的基础上加强训练。那怎么判断是否过度呢？我会出五道题给林晖博做，然后五道都对，那就过关了，没必要再继续训练，再练100道也是那样，并且会破坏他的创造力，聪明人是非常讨厌做重复的工作的。简单重复对人的创造性破坏非常大。
“理解算理，适度训练”，这是数学运算学习的正确做法。现在一种普遍现象是“不管算理，过度训练”，这也导致了很多学生的数学学习的低效的或者是无效的，通俗得说就是“白学了”。
训练的前提是先理解，如果不理解道理，就不能开始训练，练习是为了强化，你都不理解，你强化什么呢？
