概要：
黎曼几何是研究黎曼流形的学科，即定义了黎曼度规的流形。这篇文章讲的是关于黎曼流形最基本的性质，不涉及到联络和曲率。
注：这篇文章会用到张量场的概念，建议先阅读《张量场与场张量》。不过呢，即使不理解张量场（更不需要理解场张量），这篇文章的大部分内容也是可以读的，只要理解场的概念即可，即文章《场与丛》。
目录：
内积与度规 参数曲线与路径 音乐同构 附录
正文：
内积与度规
metric在数学里有很多不同的意思，指代不同的概念，比如
metric space度量空间，指代距离（函数）。 Riemannian metric黎曼度规，指代流形上的实内积场。 Finsler metric芬斯勒度规，指代流形上的距离函数场。
我们发现，metric既可以指距离，也可以指内积；既可以定义在一个空间（特别是向量空间）上，也可以定义在流形的切向量丛上。metric是一个很“不合适”的概念，它的含义取决于语境。
这篇文章的主题是黎曼度规，它是一个“内积场”。关于什么是“场”可以参考《场与丛》这篇文章，也可以参考《张量丛与张量场》。
那什么是内积（inner product）呢？
实向量空间上的实内积
我记得我们在高中学过向量的点乘，而内积就是点乘的“抽象”版本了。对于实向量空间，内积是一个双线性函数（即型张量），
它要满足两个条件，
对称性（symmetric）：
正定性（positive-definite): 如果向量不是零向量，
（应该是不需要三角形不等式的）
其中正定性是一个非常强的条件，有了它我们就能定义模长（norm），
对非负数来说，开根号是一个很容易定义的概念，而且我们知道，只有根号零才是零；因此，非零向量的长度也不是零，非常符合我们的直觉。
所谓模长，就是向量到零向量的“距离”，或者说，向量的长度。
内积还定义了一些别的东西，比如如果两个非零向量满足
我们就说他们垂直。
类似的我们可以定义两向量之间的夹角，用一种有点“间接”的方式。如果两个向量的夹角为，
这也是高中知识，余弦定理。
当然，这个定义只对两个非零的向量有意义，我个人并不想谈论零向量和其他向量之间的夹角的问题。
关于夹角定义的细节，那不是应该出现在这里的东西，你需要自己去学习。课本也好，维基也罢，尝试自己解决吧，不过我很乐意倾听你的分享哦。
实流形上的内积场
在实流形上每点光滑的取一个切空间上的内积，我们就得到了一个黎曼度规。它是一个型张量场，即
或者。当然我们也可以把定义内积时用到的概念拓展到内积场上，不过这就是教科书的事情了。
反过来来说，当我们选定了一个黎曼度规，我们就可以在任何一点处定义内积，记作
其中是点处的切向量，是上（至少是点附近）的切向量场，满足。为什么这个定义是有意义的（well-defined）呢？你思考思考？
正常讲黎曼几何的课件课本或者其他博主的文章写到这里，应该会用局部坐标系描述零曲率、正曲率和负曲率的三个经典例子吧（或者四个，毕竟有两个经典的以庞加莱（Poincaré）命名的负曲率模型）。可惜我不大正常，我只想谈谈最简单的欧几里得空间，或者说平直（flat）的空间。
二维平直空间，即平面，的黎曼度规在最自然最简单的坐标表示下是，
其中是对称积，定义是
此时对于对应的基切向量和，我们有
而对于更一般的情况，我们有
其中
为什么呢？去看书吧，或许未来我会回头来写《局部黎曼几何》，那时候会提这个的。还有一个选择就是，可以关注《学知园学习中心》，我也不知它什么时候会讲这个（不过这个公众号可能不大适合非数学系的学生，就算是学数学的也未必合适，我也不知道我为什么会喜欢这个公众号，说不清楚，可能是它可以让我拓展眼界吧）。
对上述符号不熟悉的，可以参考《坐标和方向》，不过我应该会重写，可能会改名叫《切向量与余切向量》，并把坐标相关的内容移到一篇新文章里。
参数曲线与路径
我会在未来的日子里补上关于流形的定义、子流形、隐函数定理这些基本内容，不过在这篇文章我们就假装知道以下几件事，
开区间是个一维流形。
闭区间不是，它有奇点。
子流形是一个子（拓扑）空间，而且它本身也是一个流形。
流形上的曲线是指流形上的一维子流形（很多人会要求它是连通（connected）的）
好，我们现在定义流形上的（光滑）参数曲线（parametrised curve）
（后文提的参数曲线一定是光滑的，路径也一样，我不会强调光滑二字）
直觉上说，参数曲线的轨迹（也就是它作为函数的像）是一条曲线，不过这并不一定正确，比如说我可以去常函数，这也是一条参数曲线，但它的像是一个点，也就是零维子流形。
这个意义下，参数曲线是曲线的推广。
另外一个也很常用的概念叫（光滑）路径（path）
如果我们令，那么他就是一条连通点到点的路径。
路径的定义有两种，即是一条连通两点的路径，当且仅当
它能拓展到参数曲线。 限制到上后，即是一条参数曲线，而本身连续。
我不大确定它们是不是是等价的（如果有读者知道可以提醒我一下），不过它这两者不影响我们定义之后的黎曼距离。
可以稍微拓展一下，分段路径指的是连通到到到的连续路径，其中每一段都是光滑的（这里使用路径的定义2会比较方便）。特别注意，“分段”只能分有限段（其实我觉得可数应该也可以，不过这两个应该等价吧）。
参数曲线可以理解成点的运动，把当成时间轴，那么在时刻，这个点就处于这个位置，路径也是类似。正如我们在物理里学的，当我们知道了质点位置随时间变化的规律，我们就可以得到每一时刻质点的速度。
速度
回顾之前我们对切向量的定义（应该是在《局部的微分几何》一文中，但我之后会重写改名，不知道会改成什么）：
点处的一个切向量由点处的一条参数曲线（）决定。
那么考虑参数曲线，在时刻，点处于处于，我们可以定义一条在点处的参数曲线，
它满足，因此定义了一个点处的切向量，称为在时刻的速度，记作或者或者。
（我会使用，不过黎曼几何里似乎还是牛顿的记号用的比较多，因为它不会占用上标的位置。）
因此我们得到了一条“切向量的曲线”
我们称之为参数曲线上的切向量场，是流形上的场的简单拓展，在学习（黎曼几何版本的）联络的时候还会用到这个，不过我短时间是不会谈它了。
有了速度的概念之后，我们就可以发现，如果参数曲线在某时刻的速度为零，那这个点附近的轨迹就可以“很不光滑”；反过来说，只有没有任何时刻速度为零，参数曲线的轨迹就真的是曲线了。
类似的我们也可以在路径上定义速度，唯一有争议的地方就在于两个端点（这就是它们被称为“奇点”的原因）：按照定义1我们可以直接得到端点处的速度，但我们需要证明这个速度的唯一性（不知道能不能证明，我感觉不出来）；按照定义2我们甚至没法讨论端点处的速度，除非在端点附近速度为零。
路径的长度和曲线间的夹角
有了速度的概念之后，我们还希望知道速度的大小，而这件事只有在黎曼几何里才能做到（在一般微分几何里，我们可以定义参数曲线的速度，但没法定义速度的大小），即速度的模长。
而有了速度的模长我们就可以定义路径的长度，
微积分的知识告诉我们，端点处的值完全不影响这个积分的值，因此我们可以定义什么是路径的长度；同时，微积分的知识也告诉我们，对于两条“不走回头路”的路径，只要他们的轨迹相同，他们的长度就相同，所以长度完全由路径的轨迹决定；当然“走回头路”只会增加路径的长度，所以不走回头路就意味着最短的长度。
对于分段路径我们也有一样的概念，我会用它来定义黎曼距离。
流形上任何一条连通的曲线都可以写成一条常速度大小（或称作速率）的参数曲线的轨迹，反过来也成立，任何一条常速率参数曲线的轨迹一定是连通的曲线。因此对于两条曲线及它们的一个交点，我们可以取两个参数曲线，并得到点处它们的速度，以此来计算这两条曲线在此处的夹角（不同的参数曲线的取法可能会得到不同角度，不过它们应该满足特定的关系，比如互为补角）。
黎曼距离
之前我提过，metric有一个意思（metric space）是指距离，而这里我会说明，黎曼度规本身就定义了一个距离，名为黎曼距离。
我们先来看看距离是什么。对于流形（或者更一般的拓扑空间），它上面的一个距离满足，对点，
当且仅当 。
（很多人并不允许取作为距离的值，我比较喜欢，而且这样比较方便后面的黎曼距离的定义）
黎曼距离定义为
其中是全体连通点到点的分段曲线，是带极限版本的最小值。如果我们只考虑连通的流形，那么任意两个点的距离都是有限的了。
黎曼距离为什么是“距离”呢？根据定义，我们能比较简单的推导出距离的条件2和条件3，但条件1就很困难，我不会做，我只会引入测地线（需要定义Levi-Civita联络）再用很复杂的方法来证明，我不知道存不存在简单的不需要联络的证明方法。
音乐同构
在有限维度实向量空间（配合欧几里得内积，或者更一般的我可以考虑希尔伯特空间），我们有里斯表示定理（Riesz representation），可以找到一个原向量空间和它的对偶空间之间的对应关系，对于黎曼流形来说，我们可以在每个点处，找到切空间和余切空间之间的对应关系，
满足，
把它推广到整个流形上，我们就得到了，
对切向量场，记作，这个符号叫“flat”，意味降调，这也是为什么这个对应关系被称为“音乐同构”。
反过来，我们可以定义“sharp”升调，
它满足。
我们可以换一个角度来看待音乐同构：我们知道黎曼度规是一个型张量场，
所以通过柯里化，我们发现就只是黎曼度规的另一种表示而已（可能要换个顺序，不过大意如此）。
音乐同构有什么用呢？我感觉它用处有很多，比如可以定义-形式甚至是-形式的模长，就我所知会在Hodge Theory里用到；在黎曼几何里，我们会利用它把型黎曼曲率张量场转化成型黎曼曲率张量场来简化运算；有了音乐同构，我们还可以用切向量场来表示1-形式，这可以让问题变的直观，这也是Morse Theory的第一步。
附录
作者的话
用代替在后续的黎曼几何里有很重要的意义，不过我应该是不会往下面写了。在九月之前，我文章的中心会迁移到toric geometry上，为我的硕士论文服务。即使是之后，微分几何方面我也应该会集中注意力于复微分几何，主要是与复代数几何相关联的部分，这些在我500粉总结里有比较完整的论述。我应该会讲联络，不过是复几何版本的了。
不过计划赶不上变化，更赶不上变化的变化，上个月我打算在这个月复习一下关于李代数表示论的话题来准备一个博士申请的面试，不过半个月前我已经被告知落选了。尽管如此，我还是打算复习一下这块内容，所以我还会讲一下李括号，再继续讲李群和李代数；于此同时，我还要给我的两个学弟讲Morse theory，所以还会写一下流（flow），那可能就顺便把李导数给讲了。因此未来会发的实微分几何文章应该至少还有三篇，按顺序是
流（与李导数） 李括号，坐标与标架 李群与李代数
我还会重写现有的那篇复几何的文章，可能还会往后继续写吧。
关于伪黎曼度规
我发现文章已经很长了，算了不写了，等长尾科技开始更新广义相对论，而我又打算蹭它的热度的时候再写吧。
