概要：

流形是局部长成实空间的几何图形。事实上，在没有额外的结构的情况下，流形的所有局部性质都来自于实空间。本文的主题是如何从这个角度构造流形上一点处切空间与余切空间。

目录：

1. 额外结构与局部性质
2. 上的（余）切空间
3. 流形上的（余）切空间
4. 坐标系对应的标架
5. 附录

正文：

额外结构与局部性质

微分几何作为一门学科，很多时候是指所有和流形有关的学科，是一个非常广泛的概念；但我的文章里特指一般微分几何，这里研究的流形，既没有对空间和映射有进一步要求（比如复流形），也没有选定有特定含义的张量场（比如黎曼流形）。

有些读者可能听过这么一种说法，

• 黎曼流形有局部性质。
• 辛流形没有局部性质（所以有人称之为辛拓扑）。
• 复流形没有局部性质。

顺便一提

• varieties（代数簇）是有局部性质的，因为它允许singularity（奇点），即“不光滑点”。

这些学科具体是什么，就得读者自己去了解了，我想问的是有没有局部性质是什么意思。

当我们在考虑某个点有某个局部性质的时候，我们只观察这个点周围，也就是这个点的邻域上所拥有的性质。有趣的事情是，这里取邻域的要求，既不是存在，也是不是任意，而是任意小（这是存在性和任意性的组合），即，存在某个邻域拥有这个性质的同时，比它小（包含于它）的任意邻域也得拥有这个性质。

数学专业的学过拓扑的读者可以尝试找到一个“局部不连通”但是“（全局）连通”的拓扑空间。

情况一：我们能找到一个流形，其上一点是局部连通的。我们不会特意强调“流形在点处是连通的”，因为

所有流形所有点都具有这个性质。

情况二：我们能找到一个流形，其上一点都是维的，即局部同胚于。我们不会特意强调“流形在点处是维的”，而是会说，“流形是维的”，因为

流形上所有点都具有这个性质。

在这个意义下，我们才会说流形没有“局部性质”，因为它所有的局部性质都来自于都来自于，所以对于确定的流形，每个点的局部性质完全一样。

黎曼度规给黎曼流形上的每个点定义了一个曲率，而且可以互不相同；Darboux定理告诉我们辛流形局部都同构于（和其上的标准辛形式），所以是处处相同的；复流形局部都同构于，所以也是处处相同的。

上的（余）切空间

直觉来说，在点处的切空间（换成其他点也是一样的），就是本身，但这个结论是怎么来的呢？

在上我们可以定义参数曲线，它有个比较物理的名字，（质）点在某点附近的运动。

是中一点，点处的一条（光滑）参数曲线为

也就是说，在0时刻，这个质点处于位置；我们可以定义它在零时刻的速度为

经典微分几何中我们把速度矢量定义为切向量，这个行为非常的符合逻辑，也满足我们"向量"这个词的字面含义。但是，并不是一个位置，它是一个位置空间之外的概念；

速度矢量所在的空间和位置所在的空间并不是同一个空间。从数学的角度上讲位置与速度相加并没有意义；物理上来说就更方便了，毕竟它们的量纲都不一样。

用这种方式定义的切向量和切空间没有办法拓展到流形上，毕竟流形只考虑内在的性质。流形外无物，流形外无理。那么我们有没有办法光用位置空间的元素来定义切向量呢？

既然参数曲线是纯粹的内在的定义，那用参数曲线来定义切向量不就结了？不过所有参数曲线构成的空间绝对是比切空间大太多的，我们来具体分析一下。

定义为在所有在点处的参数曲线的集合，

我们很自然的发现存在一个满射（surjection）

读者应该能从这里看出一点和我们要定义的切空间的关系了；

有代数或者拓扑的基础的读者可能已经意识到了，我们似乎可以找到的一个商空间，或者说，用参数曲线的等价类来定义切向量；

基础更好一点的读者应该意识到，由于上只有数乘没有加法，它本身并不构成一个向量空间，所以这里没有办法直接使用代数里的第一同态定理，所以定义想在商空间上定义加法并没有那么直白。

无论怎么说，我们可以着手定义切空间了：两条参数曲线对应同一个切向量当且仅当它们它们的速度矢量相同；同时，我们用速度矢量的加法反过来定义切向量的加法；所有切向量的空间被称为切空间。

实际上我们只是用中的曲线代替了中的点而已，因此我们可以找到一组特殊的切向量基

对应中的那组标准基，

现在上点处的切空间已经定义完成了，那什么是余切向量呢？我们需要理解向量空间的对偶空间，

对偶空间

对于一个一般的有限维度（实）向量空间（比如或者），其中的元素被称为原向量。

我们可以定义“的对偶空间”，简称对偶空间，

这是所有到的线性函数的集合（即所有上的实线性泛函的集合），本身也构成一个向量空间，

的元素被称为对偶向量，全称为的对偶向量。

对于一般的向量空间来说，原向量和对偶向量之间，并不存在一组唯一确定、令人信服的（canonical）对应关系，因此我们只能说的一个对偶向量，不能说原向量的对偶向量（在内积空间，比如中，可以通过内积定义这种对应关系）。

当的时候，它的对偶空间被称为余切向量空间，记作；它的元素被称为余切向量。

作为的切空间和余切空间，和是特殊的，考虑这样一个“对子”（pair），

由于我们已经在上找到了一组标准基，那么对应的在上就能找一组对偶基，使得

更进一步的得到和之间的一一对应

（为什么说和是特别的呢？因为这个映射决定于的选取，而天然的提供了一组“超然”的基）

对偶对偶空间

既然我们可以定义，我们当然也可以定义

那其中的向量是不是应该叫做“余余”切向量了呢？

有趣的事情是，此时我们能够找到和的一组唯一确定、令人信服的（canonical）对应关系，（必须要求是有限维度的）

其中

数学系的读者可以试着证明一下这是一个向量空间同构，而且它不依赖基的选取。

canonical，或者说“唯一确定、令人信服”的一一对应和相同“无异”，因此在有限维度的情况下，我们把原空间和对偶空间的对偶空间视作同一个空间。利用这个思想，我们可以反过来用方向导数来定义切向量。具体要怎么做呢？来学数学吧！

流形上的（余）切空间

接下来我们可以把切向量和余切向量的概念定义到流形上。考虑流形，让我试着定义在其上一点处的切空间和余切空间。

切空间和余切空间

我们可以定义上点处的参数曲线的集合

考虑一份点处的坐标系，

类似的我们可以取为上点处的参数曲线的集合，所以我们有

它们是一一对应的。

参数曲线的集合都已经找到了，那么切空间的定义也是水到渠成的了，就由我再复读一下好了。

流形在点处的两条参数曲线对应同一个切向量当且仅当通过这个函数得到在点处的同一个切向量；流形上的切向量的加法由上的切向量加法定义；所有流形上的点处的切向量的空间被称为切空间。

类似的有切空间后，我们就可以把它的对偶空间定义成余切空间了。

坐标系对应的标架

切空间、余切空间中的元素没有哪个比较特别，但是对于每一组选定的坐标系（coordinate system），我们能找到一组特别的切向量基，实际上它定义在整个坐标邻域（coordinate neighborhood）上，因此是一组切向量场构成的基，被称为标架（frame）。当然，我们也可以“对偶的”找到一组余切向量场构成的基。

（下一篇微分几何的文章的主题应该就是“每个坐标系都是标架，但只有特定的标架才是坐标系”，它是Frobenius定理的前置条件。）

考虑流形和它上面的一个坐标系，或者说坐标卡，因为它是同胚（diffeomorphism），可以得到它光滑的逆函数

回忆一下我是怎么定义切向量的，是用参数曲线。那么参数曲线藏在哪里呢？观察发现，定义在（的开子集）上，那么如果我们只看的某条轴上的函数，即

其中是映射到坐标的第个分量的函数，即

（从图象上看，的就是轴从左往右走（从零开始数的话自己换算）。）

是一条在点参数曲线，那么就是在点处的一个切向量了。特别的，如果，，更近一步的可以证明，它们构成一组基（为什么呢？回忆一下我是怎么定义流形上的切向量的，再看看这两个参数曲线分别对应中的哪些参数曲线）。

我选取的是点处的坐标系，所以要求点的坐标是。不过事实上对于附近的一点，我们只要将坐标系整体平移一下，就能得到一个点处的坐标系了，具体来说就是，

这样代入就得到了。因此，有了点的坐标系我们就在附近每个点上找到对应的切向量了。

直觉上说，既然坐标系是光滑的，那么用坐标系得到的切向量们应该也是光滑的，构成一个切向量场，不过这个不是很方便证明，我们来从另一个视角来看看。

方向导数

回顾一下上的方向导数，考虑是上点处的一个切向量，那么对于一个上的光滑函数，方向上的方向导数为，

导数值是一个实数。

回到流形，考虑点处的坐标系的第坐标函数，

在上任何一点处，是光滑的，所以对处的任意一个方向导数，我们都可以得到一个实数。

和切向量一样，在点附近对坐标的每个分量我们都可以找到一个特别的方向导数，这样就在整个上找到一个特别的方向导数场（对应一个切向量场）。

对应第坐标的方向导数场常记作，或者，我姑且使用，我们来看看它的定义是什么。

简单来说，这个方向导数只考虑沿着方向，也就是坐标中只有项变化时，的变化量（如果发现自己完全无法理解，可以考虑回去学习一下多变量微积分）；

为什么用这么个方程我们就可以决定这个方向导数呢？

对于任意的光滑函数，在点附近我们有

（它们差一个二阶余项）可以证明这两个光滑函数的方向导数值也是一致的。所以只要定义了方向导数对光滑的取值，对任意光滑函数的取值也就确定了。

对应的余切向量场记作，满足

两种定义的一致性

接下来我们来证明一下和是同一个切向量。回顾一下切向量和方向导数的关系，考虑点处的一条参数曲线，我们可以定义一个方向导数，对于点周围的一个光滑函数，

所以代入，，我们有，

把具体写出来就是，