感悟运算的一致性，
学习如何思考问题
张丹 付丽 孙京红
2022年版课标在小学阶段提出了“感悟运算的一致性”的要求，这引发了小学数学教育工作者的广泛关注与思考。2022年版课标为什么要提运算的一致性？其教育价值是什么？如何理解运算的一致性的内涵？如何通过具体的路径，帮助学生感悟运算的一致性，最终为发展学生的核心素养助力？这些都是亟待思考和解决的问题。基于此，笔者团队开展了系列的实践研究。
一、从发展学生核心素养的角度看运算的一致性
素养是一个人表现出来的思维品质和做事风格，往往体现在新情境下发现和解决复杂问题的意愿和能力上，而这需要学生理解所学内容的意义，并促进所理解的意义在新情境下实现迁移，即实现“意义理解与自主迁移”。
一般来说，如果事物之间是有联系的，存在着一致性，那么，就更容易迁移之前思考或做事的经验运用到新的情境中解决新问题。感悟运算的一致性，不是简单地让学生知道运算之间有什么联系，把有关结论直接告诉给学生，重要的是帮助学生体会思考问题的方法，积累迁移解决新问题的经验，逐渐发展核心素养。
如何在运算的一致性的教学中发展学生的核心素养呢？一方面，要明确这个内容所指向的核心素养主要表现是什么，即“明方向”。运算的一致性属于“数与运算”主题，旨在发展学生的运算能力和推理意识。另一方面，要厘清运算的一致性与核心素养主要表现之间的关联，以及在教学中如何实现这种关联，即“建桥梁”。运算的一致性可以从下面两个方面来理解：
第一，运算意义的一致性，简言之，四则运算都源于实际意义的抽象，同时四则运算之间存在着联系。在整数、小数、分数的同一种运算中，其意义存在着一致性，如整数乘法、小数乘法和分数乘法都可以理解成是在求“相同加数的和”或“一个数的多少倍”。
第二，算理、算法的一致性，即如何运算方面的一致性。2022年版课标中给出了探索
如何运算的重要思路是“将未知转化为已知”，利用数和运算的意义及它们之间的联系，还有运算律等将未知转化为已知。以整数乘法为例，在2022年版课标中给出了这样一个案例（如图1）
此案例提示我们首先要鼓励学生进行转化，思考如何把未知转化成已知。学生将逐步感悟通过运算的意义、将数“拆分”可以转化成已知的事实。其次要体会计数单位在转化中的作用。实际上，不论是整数、小数还是分数，都是基于计数单位的表达，而不论是整数乘法、小数乘法还是分数乘法，实际上都是在寻求新的计数单位及其个数。
明晰了计数单位在转化中的作用，积累了如何转化的经验，就可以运用这些经验不断探索新的运算，逐渐发展运算能力和推理意识，这便是素养的培育过程。二、从学与教的实践中发现实现运算一致性的路径厘清了感悟运算的一致性和发展核心素养之间的关系后，笔者团队整体思考相关内容，聚焦算理和算法的一致性，进行了探索与实践。
（一）整体分析，发现运算中的不一致。
先来看加减法。整数和小数的加减法都是在相同数位上将计数单位的个数相加减，而分数加减法中的通分，实质上是先找到统一的计数单位，再将计数单位的个数相加减。虽然算法不同，但本质相通。关于加减法运算，其一致性的道理和思考路径是比较清晰的。目前一致性教学的难点在于对乘法和除法一致性的探索。
除法是乘法的逆运算，乘法是基础，所以可以先分析现行的乘法学习。
对于小数乘法，现行教材中大多是利用积的变化规律转化为整数来计算的，而到了分数乘法，又用的是分数的意义和乘法的意义，这就与解决小数乘法时转化为整数乘法的思考方向不一致了。
如解决0.3×0.2，可以转化成学生学过的整数乘法，具体转化过程如图2所示。
经历了这样的思考过程，到了解决分数乘法时，如果迁移已有经验，学生自然想到的还是转化为已经学过的运算，把分数乘法转化成整数乘法或小数乘法，具体思路如图3所示。
综上，小数乘法是利用积的变化规律转化为整数乘法来计算的，而分数乘法是利用分数的意义和乘法的意义来计算的，这两种思路不一致，又没有呈现不一致的理由，所以可能造成学生思维的脱节，阻碍已有经验的迁移。
（二）调研学生，发现学生的真实需求。
那么，计算小数乘法和分数乘法时，学生真实的思考路径是什么呢？笔者团队从学生实际出发，去探寻学生处理小数乘法时的真实想法。
调研题目：0.3×0.2的结果是多少？用喜欢的方法把你的思考过程表达清楚。
通过调研发现，学生主要采取了两条路径。
第一条路径是，用积的变化规律将小数乘法转化为整数乘法。约有三分之一的学生是这样想的。
第二条路径是，从小数乘法的意义出发。约有三分之二的学生这样思考问题，即使学生没学小数乘法的意义，但他们意识到意义能够帮助解决问题。所以，有些学生就开始思考：0.3×0.2就是0.3个0.2或0.2个0.3，那0.2个0.3又是多少呢？在从意义出发的学生里，有约30%的学生成功地把0.3平均分成10份，取2份得到了正确结果，如图5所示。但有约70%的学生产生了困惑，无法作答或者得到了错误答案0.6。通过访谈发现，学生受整数乘法的影响，认为会越乘越大，所以比较犹豫地得到0.6。一方面，学生对小数乘法意义的理解影响了小数乘法运算；另一方面，到底0.3×0.2是什么意思，为什么会越乘越小，学生又迫切地希望讨论。从这个角度来说，帮助学生体会小数乘法的意义是重要的，它既是学生真正好奇的问题，也是学习一种运算时应该首先思考的关键问题。因此，有必要补充通过具体实例感受小数乘法意义的内容。
继续深入访谈得出“0.3×0.2＝0.6”的学生，发现有的学生能够认识到“0.3是3个0.1，0.2是2个0.1，3乘2结果是6”，但是不明白得到的是6个什么。有的学生是受小数加法竖式计算时小数点对齐的影响，认为小数乘法计算时小数点也应该对齐，所以得到结果“0.6”，说明他们没有意识到积的计数单位发生了变化。
从调研情况和访谈入手分析，可以确定学生学习小数乘法运算的难点在“0.1×0.1为什么结果是0.01”上，小数乘法运算中计数单位的变化是不可回避的问题。在小数乘法运算教学中，可以先帮助学生体会小数乘小数的意义，发现“单位×单位”会产生新的计数单位。为此，有必要先进行0.1×0.1的教学，这样既可以让学生感悟新的计数单位的产生，又能帮助学生体会小数乘法的意义，解决“为什么越乘越小”的困惑。
未完待续……
审 阅：于国文 张 艳
责任编辑：陶文迪 曹思维
