Deeper but smaller:Higher-order interactions increase linear stability but shrink basins
更深但更小:更高阶的相互作用增加线性稳定性，但收缩盆地
摘要
非线性动力学和网络科学的一个关键挑战是理解高阶交互如何影响集体动力学。虽然许多研究通过线性稳定性分析来探讨这个问题，但对于高阶交互如何塑造不同状态的全局组织，仍知之甚少。在此，我们通过分析超图上相同的库拉莫托Kuramoto振荡器所支持的丰富模式，对这一问题进行深入研究。我们发现，高阶交互对线性稳定性和基盆稳定性有着相反的影响：它们通过改善线性稳定性来稳定扭曲态（包括完全同步态），但同时也会通过显著减少其基盆大小，使这些状态难以找到。我们的研究结果强调了从局部和全局角度理解高阶交互的重要性。
I. 引言
高阶交互[1-6]同时连接两个以上的单元，是塑造复杂动力学过程的关键，例如社会网络中的传染和进化[7-12]、大脑中的信息处理[13-16]，以及耦合振荡器中的同步现象[17-21]。因此，理解它们如何影响集体动力学至关重要。许多研究通过线性稳定性视角来解决这一挑战，线性稳定性描述了同步与共识等状态如何响应小扰动[22-33]。然而，对基盆稳定性[34]的关注却较少，基盆稳定性是一种基于吸引域大小的全局度量，决定了系统对大扰动的响应[35-39]。
在本文中，我们从线性稳定性和基盆稳定性两个角度，提供了关于高阶交互如何影响动力学模式的更完整图景。我们表明，高阶交互可能产生相反的效果：它们可以通过提高线性稳定性创造更多同步状态；但同时也会大幅缩小这些状态的吸引域，从而有效地隐藏它们。结果是，像完全同步这样的状态可能是稳定的，但在随机初始条件下难以达到。
为了证明这一点，我们考虑了通过两体和三体交互耦合的n个相同的相位振荡器：
二。结果
A.线性稳定性分析
在这里，我们专注于一个在分析上可处理的情况，即具有简单环结构的方程（1）：
环状矩阵的归一化特征向量是傅里叶模式，而矩阵的特征值由以下公式给出：
C. 其他耦合结构
III. 讨论
在本文中，我们展示了高阶交互如何使吸引域变得更深但更小——吸引子变得在线性上更稳定，但同时由于吸引域的显著缩小，它们变得更难以找到。我们在多种耦合结构下（包括不同耦合范围的环形超图、环形单纯复形和随机超图）演示了这一现象。我们能够在这些耦合结构下解析地表征所有扭曲态的线性稳定性。对于基于吸引域稳定性，我们的系统化数值模拟揭示了随着增加，动态系统的有趣全球特征。特别是，扭曲态的吸引域变得更深但更小，因为新的吸引态不断涌现。我们进一步表征了这些由高阶交互引入的新态，它们与扭曲态竞争，表现为2簇态、嵌合态或无序态，具体取决于
的比例。
由高阶交互引起的更深但更小的吸引域可以为一些生物系统带来功能上的优势。例如，为了使大脑能最优地运作【57】，吸引子应该具有较高的线性稳定性，以便大脑在受到小扰动或噪声时能迅速回到当前状态。同时，我们还希望大脑能够灵活地在不同状态之间过渡（例如，在计算和信息处理期间），这可以通过具有小吸引域来实现。
为什么随着引入高阶耦合，扭曲态的吸引域会缩小？首先，我们注意到，与其成对耦合的对应物不同，具有非成对交互的Kuramoto系统通常不是梯度系统【58】。这使得方程（1）和（2）在增加时可以经历Hopf分叉。参考文献【59】最近显示，线性稳定性和吸引域稳定性之间的负相关通常出现在经历连续Hopf分叉的动态系统中，这提供了一种机制，使得高阶交互能够缩小吸引域。更一般地说，随着更多吸引子的出现，平均吸引域大小会减少。在我们的情况下，出现的新态比扭曲态更无序，它们具有巨大的熵优势（无序配置的可能性远大于有序配置）。即使是2簇态，虽然表面上看起来有序，但其配置方式也比扭曲态多得多——振荡器可以在两个簇之间以
种不同方式进行分配【55】。
是否广泛的多稳态现象自然地从一般高阶交互中出现，而不管动力学和耦合的具体细节？这种现象已经在许多不同的设置中被观察到【54, 55, 60, 61】。对于具有全连接的方程（1），之前的研究表明，耦合函数 引入了一个高阶谐波和对均值场描述中的阶参量的非线性依赖，从而在自洽方程中产生了额外的非线性和广泛的多稳态【62, 63】。对于不同的耦合函数
，使用Ott-Antonsen假设【64】发现，高阶交互导致了在描述宏观系统动力学的简化方程中添加的非线性【65】。最后，对于更非局部的耦合，如本文中考虑的那些，我们预计复杂的耦合结构可能会在宏观方程中引入额外的非线性，进一步增加多稳态现象。
总之，线性稳定性与吸引域稳定性之间的负相关性盛行，表明在考虑超图和单纯复形上的集体动力学时需要更细致和全面的方法。在非成对耦合的情况下，理解吸引子和鞍点的全局组织对于预测和控制复杂系统，如生态群落和神经元群体，至关重要。我们希望这项工作能刺激未来对高阶交互效果进行本地和全球视角的研究。
https://arxiv.org/pdf/2309.16581
