镍基高温合金作为一种非常重要的结构材料, 具有优良的高温性能, 是目前制造先进航空发动机、燃气轮机叶片、涡轮机热端机部件的主要材料[1]。但是高温合金为多元合金，不同元素具有不同的密度，导致高温合金定向凝固过程会出现雀斑、杂晶、热裂、缩松、小角度晶界等多种凝固缺陷, 这些缺陷严重影响高温合金铸件力学性能, 从而导致航空发动机、燃汽轮机的工作效率和使用寿命大幅降低[2]。其中雀斑是一种非常不容易用后处理去除或减弱的缺陷，其一旦形成将导致铸件无法使用。雀斑是合金元素溶质富集区域，分布在枝晶间, 形成取向平行于重力方向。由于腐蚀后试样宏观表面呈现明显的斑点状, 故称为雀斑[3]。雀斑缺陷的形成受很多因素影响，例如温度梯度、抽拉速度、合金成分、铸件形状等。采用实验方法研究定向凝固过程中不同工艺参数作用下雀斑形成特点[4]，不仅耗时费力且不能准确捕捉到雀斑形成过程以及影响雀斑的关键因素，但通过计算机数值模拟的方式对其进行研究能直观观察到雀斑在凝固过程中的形成过程，便于分析和找到抑制雀斑形成的方法，提高铸件的各项性能。
目前国内外针对镍基高温合金雀斑数值模拟的研究主要集中在如下几个方面。Beckermann等[5]通过改变温度梯度、凝固速度和一次枝晶臂间距研究了多组元热溶质对流作用下雀斑形成，而后又通过模拟揭示糊状区枝晶碎片运动和重熔对雀斑缺陷的影响[6]。马长文等[7]建立了双扩散作用下糊状区液相流动与溶质分布的数学模型,研究了初始成分值对二元组分铸锭中通道偏析形成和演化的影响。曹流等[8]建立了基于有限元的LMC过程热传导模型，分析了抽拉速率对凝固界面和杂散晶粒形状的影响。马德新等[9]通过实施工业条件下的定向凝固实验, 认为合金成分和铸件形状也是影响雀斑形成非常重要的因素。但目前，不同合金成分和铸件形状影响雀斑形成的数值模拟研究还没有开展。不同合金成分和铸件形状下，凝固过程中成分场、温度场和流场变化特点还不清楚，雀斑形成位置和形成时间与上述三场之间的内在联系还不明晰。
本文采用宏观流体力学三大方程，基于显示有限差分法计算凝固过程中的动量守恒、能量守恒和溶质守恒。在动量守恒方程计算中，采用SIMPLE算法处理流动速度与压力之间的关系，连续性方程作为收敛标准，收敛精度为10-4，从而获得不同时刻下的速度场和压力场[10-12]。基于守恒方程和数值算法，采用VC++编制宏观偏析数值模拟程序。选取CMSX-2为模型合金，采用多元合金等效二元相图计算方法[13]在等效二元体系中研究了不同几何形状以及不同合金成分对镍基高温合金雀斑形成的影响。
1 数学模型
1.1 传输模型
采用Voller等[14-15]提出的数学模型。计算前做如下假设：
1)液相内为牛顿层流流体；
2)如果为2D计算，选取纵向中心截面为研究对象；
3)形成固相不随流运动；
4)固液界面处局部热—溶质平衡。
基于上述假设，质量、动量、能量和成分守恒等式表述如下：
连续性方程：
(1)
(2)
x方向动量方程：
(3)
z方向动量方程：
ρg[βT(T-Tref)+βC(Cl-Cref)]
(4)
其中：g为重力加速度；μl为动力黏度；P为压力；K为糊状区渗透率；βT为温度膨胀系数；βC为溶质膨胀系数；Tref和Cref为参考温度和参考成分。两相区的渗透率K可通过Carman-Kozeny方程进行计算：
(5)
其中ds为二次枝晶臂间距。
混合能量守恒方程：
[ρH]=fsρshs+(1-fs)ρlhl
(6)
(7)
其中：λ为导热系数；fs为固相分数；cp为等压比热容；T为温度；ΔH为凝固潜热。
混合成分守恒方程：
(8)
式中[ρC]的表达式为
[ρC]=ρsCsdα+ρlflCl
(9)
其中：Cl为宏观网格单元液相成分；Dl为液相溶质扩散系数。
1.2 SIMPLE算法
SIMPLE法(semi-implicit method for pressure linked equations)是一种主要拥有求解不可压流场的数值方法。它的核心是采用“猜测—修正”的过程。基本思想：对于给定的压力场(它可以是假定值或是上一次迭代计算所得到的结果)，求解离散形式的动量方程，得出速度场。因为压力场是假定的或不精确的，这样得到的速度场一般不满足连续方程，因此，必须对给定的压力场加以修正。修正的原则是与修正后的压力场相对应的速度场能满足这一迭代层次上的连续方程离散形式。据此原则，我们把由动量方程的离散形式所规定的压力与速度的关系代入连续方程的离散形式，从而得到压力修正方程，由压力修正方程得出压力修正值。根据修正后的压力场，求得新的速度场。然后检查速度场是否收敛，若不收敛，用修正后的压力值作为给定的压力场，开始下一层次的计算，直至收敛为止。
2 数值模拟结果和分析
2.1 等效二元相图计算
本文选取第二代镍基高温合金CMSX-2为研究对象。合金主要成分、液相线斜率和平衡分配系数见表1。
表1 合金成分、液相线斜率和平衡分配系数[5]
Tab.1 Alloy composition, liquidus slope and equilibrium
partition coefficient[5]
采用多元合金等效二元相图计算方法[13]，针对CMSX-2计算了等效合金成分等效液相线斜率
等效溶质分配系数
和等效溶质膨胀系数
公式如下：
(10)
(11)
(12)
(13)
CMSX-2(Case1)、Al=0(Case2)和Ta=0(Case3)三个算例所对应的等效合金成分等效液相线斜率
等效溶质分配系数
和等效溶质膨胀系数
见表2。CMSX-2合金热物性参数和计算参数见表3。
表2 等效合金成分、等效液相线斜率、等效
溶质分配系数和等效溶质膨胀系数
Tab.2 Equivalent alloy composition, equivalent liquidus
slope, equivalent solute partition coefficient
and equivalent solute expansion coefficient
表3 CMSX-2合金热物性参数[5]
Tab.3 Thermophysical parameters of CMSX-2 alloy[5]
2.2 模型验证
本文基于Beckermann等研究结果[5]，采取与其相同的铸件形状(15 cm×5 cm)、凝固参数(温度梯度G和抽拉速度V)及枝晶臂间距λ1对铸件凝固过程雀斑形成进行模拟。“RCase”代表文献中实施的算例。算例采用的计算参数如表4所示。
表4 算例的计算参数
Tab.4 Calculating Parameters of Examples
针对这四个算例(RCase1～RCase4)，本文定向凝固结束时成分场模拟结果如图1所示。
图1 本文所得不同算例下成分场分布
Fig.1 Distribution of component fields under
different examples in this paper
从图1可以看出，当温度梯度为50 K/cm和抽拉速度为25 cm/h时，RCase1为稳定凝固，没有溶质通道形成，即没有形成雀斑缺陷；当温度梯度为35 K/cm和抽拉速度为10 cm/h时，随着凝固的进行，RCase2在凝固到5100s时凝固前沿失稳，在距铸件底部8.5 cm处出现偏析通道，即形成了雀斑缺陷；当温度梯度为20 K/cm和抽拉速度为10 cm/h时，RCase4中的凝固过程最不稳定，形成的雀斑程度最为严重形成的时间也最早，雀斑缺陷形成起始位置接近铸件底部1.5 cm处，左侧通道沿铸件壁生长到铸件顶部。
由表4可知，文献中同样条件下RCase1的结果是非常稳定的，RCase2则刚刚失稳有通道形成，RCase3和RCase4都是不稳定的，RCase3的偏析比RCase2的更严重，RCase4则是最不稳定的。本文模拟结果与文献计算结果趋势一致，验证了算法设计、程序开发和边界条件选择的可靠性。
2.3 几何形状对雀斑形成影响
本文设计了有/无截面收缩的铸件，尺寸如图2所示。图中两种形状铸件的二维面积相等。模拟CMSX-2合金，温度梯度和抽拉速度分别为20 K/cm和10 cm/h，枝晶臂间距为400 μm。
图2 铸件尺寸图
Fig.2 Casting Size Diagram
定向凝固结束后成分场示于图3。从图3(a)中可以看到在无截面收缩的铸件中从距铸件底部3.75 cm开始出现五条通道，并均连续生长到距铸件底部9.5 cm，继续凝固除最左侧通道沿铸件壁一直生长到铸件顶端外，其他四个通道出现合并和截断现象。从左侧数第四条通道在从距铸件底部11.25 cm处生长到距铸件底部16.25 cm的凝固过程中溶质浓度达到35.9%(红色区域数值)。继续凝固溶质浓度大的区域面积增大，不再是链状通道。图3(b)有截面收缩的铸件两条通道初始位置为距铸件底部10 cm处并且分别沿两侧铸件壁生长。在距铸件底部12.5 cm处即截面收缩的位置，左右通道内溶质浓度分别为35.66%和35.67%。左侧通道内溶质浓度在距铸件底部14.5 cm到17.5 cm之间先减小到34.78%后增大到35.7%。在距铸件底部17.5 cm到距铸件底部25 cm处的收缩截面通道一直持续生长，浓度均在35.7% 。在距铸件底部25 cm以上浓度又逐渐减小到34.9%；而右侧通道内溶质浓度在距铸件底部15 cm到24.75 cm之间先减小到34.09%后增大到35.11%。在距铸件底部25 cm处即收缩截面以上浓度又下降到34.64%。
图4和图5分别给出无截面收缩的铸件和有截面收缩铸件在三个时刻下等固相分数线和等效速度值分布图。其中Vw为z轴方向流动速度，单位为cm/s。
图3 不同形状铸件CMSX-2合金定向
凝固结束成分场分布
Fig.3 Composition field distribution at the end
of directional solidification of CMSX-2 alloy
castings with different shapes
图4 无截面收缩的铸件定向凝固不同时刻的
等固相分数线和等效速度值分布图
Fig.4 Distribution of iso-solid fraction line and
equivalent velocity at different time of directional
solidification of castings without cross-section shrinkage
图5 有截面收缩的铸件定向凝固不同时刻的
等固相分数线和等效速度值分布图
Fig.5 Distribution of iso-solid fraction line and
equivalent velocity at different time of directional
solidification of castings with cross-section shrinkage
从图4和图5中均可以看出，在形成溶质偏析通道的位置，固相分数界面会出现形似火山口状的明显波动，这意味着溶质在此处富集。随着凝固进行，富集溶质的枝晶间液体密度减小，当浮力大于通道中的粘性阻力时，轻的元素会向上流动。富集溶质的液体流过之处液相线温度降低，因此形成雀斑缺陷。在高温合金定向凝固过程中。在图4中，由于无截面收缩的形状流动区域相对宽阔，实际液体流动的动力要比铸件壁上的大，但是阻力比在铸件壁界面上形成时要大得多所以不能形成有效对流。糊状区液体因密度反差造成的流动驱动力要小得多，即使在阻力很小的铸件壁上，也不可能驱动整个界面上液体的流动，而只能形成隧道式的局部对流，结果是造成链条状的雀斑缺陷。而图5中铸件外形连续收缩对于产生雀斑却是有利的条件。这是由于铸件壁提供了阻力很小的界面，要远远小于枝晶臂互相交错的糊状区内部，这造成了对流的骤然加速和枝晶臂冲断，使得雀斑形成。糊状区液体流动极易沿着阻力很小的铸件壁进行所以产生附壁效应。正如图5(a)和(b)中最大流速即图中红色部分在铸件截面收缩处出现，而图4(a)、(b)、(c)中流速均没有出现红色部分。
2.4 合金元素对雀斑形成影响
将合金元素的相对平均成分作为整个偏析相的初始浓度来研究，通过去除成分中一些元素，分析元素变化对雀斑形成的影响。将计算机模拟出来的图与计算得出的每一个元素的相对溶质膨胀系数
进行对比可以验证模拟的情况是否正确。为了便于观察对比不同成分对偏析影响的成分模拟图，Cmix由公式
决定。不同合金成分长方形铸件的二维成分场模拟结果示于图6。速度场模拟结果示于图7。
图6 不同合金成分定向凝固结束成分场分布
Fig.6 Distribution of composition field at the end of directional solidification of different alloys
图7 长方形CMSX-2不同合金成分定向
凝固不同时刻的流场分布
Fig.7 Flow field distribution of rectangular CMSX-2
alloy at different time of directional solidification
不同合金元素组成对于通道的形成有着不同的影响。在图6(c)中的通道在凝固过程中形成的最早，而(b)中却没有通道产生，这是由于计算Ta=0的算例溶质膨胀系数最大，为6.81×10-3。而Al=0的溶质膨胀系数最小，仅为0.47×10-3。图6(a)中起初在铸件中间形成了四个连续的通道，而图6(b)几乎没有溶质富集，图6(c)则在从距铸件底部0.75 cm就开始出现很多截断的通道，只有在距铸件底部11.25 cm处产生一条溶质浓度很大的通道一直连续生长到距铸件顶部16.25 cm处。形成上述结果的原因可以结合速度场来解释：凝固过程中不同的合金成分造成的流动强度不同，也对雀斑缺陷的形成也起着不同的作用。图7(a)的铸件在凝固过程虽在铸件顶部有流动但距凝固界面较远，并没有使界面失稳，没有溶质富集，所以没有形成通道。图7(b)可以看到，形成平行重力方向的隧道式流动，在通道形成的地方流动速度比周围液体的流动速度大，尤其是在接近凝固界面“火山口”的地方，流速呈现红色。
3 结 论
1)本文模拟结果与Beckermann等模拟结果进行对比，趋势吻合，证明了算法设计、程序开发和边界条件选择的可靠性。
2)本文中两种形状的铸件均有雀斑产生，不同几何形状的铸件对于雀斑的形成有不同的影响：无截面收缩的铸件的通道数量更多、形成的时间更早即通道形成的初始位置更接近铸件底部；而收缩形铸件中通道则出现在壁面处，附壁现象明显，雀斑在铸件壁形成更不利于铸件的实际使用。
3)不同合金成分也是影响雀斑形成的重要因素：Al为不稳定元素，Ta为稳定元素。所以在铸件合金成分中减少Al的含量或增加Ta的含量有利于抑制雀斑形成。
引 用 文 献:刘东戎, 任莹, 郭二军. 镍基高温合金雀斑缺陷数值模拟[J]. 哈尔滨理工大学学报, 2020, 第25卷(2):118-124.
