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初中数学代数基础知识点和公式，初中生必看！
教育
2024-11-26 19:50
福建
▊ 一、数
1、
有理数：
⑴正数：大于零的数
⑵负数：小于零的数
⑶0即不是正数，也不是负数
⑷整数：正整数，零、负整数的统称
⑸小数：正分数，负分数的统称
⑹有理数：整数和分数的统称
2、
数轴：规定了原点、方向和单位长度的直线
⑴在数轴上表示的两个数右边的数总比左边的数大
⑵正数都大于零，负数都小于零，正数大于一切负数
3、
相反数：只有符号不同的两个数，其中一个叫另一个的相反数
4、
绝对值
⑴一个数a的绝对值指数轴上表示数a的点到原点的距离
⑵正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数
⑶两个负数，绝对值大的发、反而小
5、
有理数乘法法则：
⑴两数相乘，同号得正，异号的负，并把绝对值相乘
⑵任何数和0相乘都得0
⑶几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定当负因数有奇数个时，积为负。当负因数有偶数个时，积为正
⑷乘法运算律：①交换律ab=ba ②结合律（ab）c=a（bc）③分配律a（b+c）=ab+ac
6、
有理数除法法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数
⑴两数相乘，同号得正，异号的负，并把绝对值相乘
⑵0除以任何一个不等于0的数，都得0
7、
有理数的乘方：
⑴n个相同因数的积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂
⑵正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数
⑶混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号、则先算括号里面的
8、
有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字
▊ 二、整式
1、
⑴单项式：数和字母的积（所有字母指数的和是单项式的次数
⑵多项式：几个单项式的和（多项式里，最高项的次数就是多项式的次数）
⑶降幂排列和升幂排列（略）
⑷整式：单项式和多项式的统称
⑸同类项；所有字母相同，并且相同字母的次数也相同的项
①合并同类项：多项式中的同类项合并成一项
②法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变
▊ 三、因式分解
1、
方法：
⑴提取公因式法
⑵公式法：
①平方差公式： a
2
-b
2
=（a+b）（a-b）
②完全平方公式：a
2
±2ab+b
2
=（a±b）
2
③立方和公式：a
3
+b
3
=（a+b）（a
2
-ab+b
2
）
④立方差公式：a
3
-b
3
=（a-b）（a
2
+ab+b
2
）
⑤a
2
+b
2
+c
2
+2ab+2ac+2bc=（a+b+c）
2
⑶分组分解法（略）
⑷十字相乘法（略）
⑸配方法：（略）
⑹利用x
2
+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解因式
2、
把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行
①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式
②如果各项没有公因式，那么可以尝试用公式来分解
③若用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其他方法来分解
④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止
▊ 四、一次函数、反比例函数
1、
⑴数轴上的点的坐标：数轴上的点与实数是一一对应的，从而用一个实数来确定一个点在数轴上的位置，这个实数叫点的坐标
⑵平面坐标系的点与一对有序实数一一对应，这一对有序实数称为该点的坐标。
2、
P(a，b)的对称点
⑴P点关于x轴的对称点为(a ,-b)
⑵P点关于y轴的对称点为(-a , b)
⑶P点关于原点的对称点为(-a ,-b)
3、
函数的定义：一般地，设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是因变量，y是x的函数
4、
求函数中自变量的取值范围一般可分两种情况
⑴函数由一个解析式给出，其自变量的取值范围要使函数有意义
①用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数
②用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母的值不为零的实数
③偶次方根表示的函数，自变量的取值范围是“被开方数≥0”的实数
⑵对于有实际意义的函数，自变量的取值范围要根据实际意义来确定
5、
由函数解析式画图象的步骤：
⑴列表
⑵描点
⑶连线
6、
一次函数的定义：一般地，如果y=kx+b(k≠0,k,b是常数),那么y叫x的一次函数。
当b等于零时y叫x的正比例函数
7、
⑴y=kx(k≠0)的图象是一条经过原点的直线
画正比例函数的图象取(0,0)与(1,k)点
当k＞0时, y随x的增大而增大
当k＜0时, y随x的增大而减小
⑵y=kx+b(k≠0) 的图象也是一条直线,画一次函数的图象时取(0,b),(-b/k,0)两点
当k＞0时, y随x的增大而增大
当k＜0时, y随x的增大而减小
⑶y=kx+b(k≠0)可以看作是y=kx(k≠0)向上或向下平移得到的,
由此得出y=kx+b经过的象限情况:
⑴k＞0, b＞0
图象经过一,三,二象限
⑵k＞0,b＜0
图象经过一,三,四象限
⑶k＜0 b＞0
图象经过一,二,四象限
⑷k＜0,b＜0
图象经过二,三,四象限
※通常把一次函数y=kx+b的图象叫做直线y=kx+b
※一次函数y=kx+b的性质类似正比例函数那样
⑷若y=kx+b(k≠0)，则该函数的图像关于x轴对称的直线的解析式为y=-kx-b(k≠0)；关于y轴对称的直线的解析式为y=-kx+b(k≠0)
8、
一次函数解析式的求法：待定系数法
9、
对于两直线：L
1
：y=k
1
x+b
1
和L
2
：y=k
2
x+b
2
若 k
1
≠k
2
两直线相交
若k
1
=k
2
b
1
≠b
2
则两直线平行
若k
1
=k
2
b
1
=b
2
则两直线重合
若k
1
k
2
=-1则两直线垂直
10、
反比例函数：y=k/x
其图象为双曲线
⑴当k＞0时，图象在一、三象限
⑵当k＜0时，图象在二、四象限
11、
一次函数图象的平移
⑴沿y轴方向平移：函数 y = kx + b 的图象可以看做是 y = kx 平移|b|个单位得到的，当b＞0时，图象沿y轴向上平移；当b＜0时，图象沿y轴向下平移。
⑵沿x轴方向平移：函数 y = kx + b沿x轴方向平移n个单位，向左平移，函数关系式变为y = k（x+n） + b
向右平移，函数关系式变为y = k（x-n） + b
12、
两点间的距离公式：若有两点：A（x
1
,y
1
）；B（x
2
,y
2
）,则AB间的距离是（x
1
-x
2
）
2
+(y
1
-y
2
)
2
的算术平方根。
▊ 五、一元二次方程有关理论知识汇总
1、
一元二次方程的一般表达式： ax
2
+bx+c=0 (a≠0)
2、
解一元二次方程的方法：①直接开平方法
②配方法
③公式法
④因式分解法（包括十字相乘法） ⑤换元法（替代法）
3、
一元二次方程根的判别式：△=b
2
-4ac
应用：①△＞0时，方程有两个不相等的实数根
②△= 0时，方程有两个相等的实数根
③△＜0时，方程无实数根
4、
根与系数的关系（韦达定理）：设一元二次方程ax
2
+bx+c=0 (a≠0)的两根为x
1
、x
2
则：x
1
+x
2
=-b/a
x
1
x
2
=c/a
5、
根据根与系数的关系，不解方程，判断根的正负号：
①x
1
x
2
＞0，x
1
+x
2
＞0
则两根为正
②x
1
x
2
＞0，x
1
+x
2
＜0
则两根为负
③x
1
x
2
＜0，
则两根异号
④x
1
x
2
＜0，x
1
+x
2
＞0
则两根异号且正根的绝对值比负根的绝对值大
⑤x
1
x
2
＜0，x
1
+x
2
＜0
则两根异号且正根的绝对值比负根的绝对值小
6、
一元二次方程根的求根公式
7、
已知一元二次方程ax
2
+bx+c=0 (a≠0)的两根为x
1
、x
2
求方程：
则： x
2
-（x
1
+x
2
）x+ x
1
x
2
=0
8、
用公式法因式分解ax
2
+bx+c，设ax
2
+bx+c=0 (a≠0)的两根为x
1
、x
2
则ax
2
+bx+c=a(x-x
1
) (x-x
2
)
9、
若A
1
x
2
+B
1
x+C
1
= A
2
x
2
+B
2
x+C
2
则A
1
=A
2
且B
1
=B
2
且C
1
=C
2
▊ 六、求二次函数解析式类型
1、
求二次函数解析式，用待定系数法，要能快速、准确求出二次函数解析式，关键是设准确的二次函数解析式的形式，下面是根据已知条件所设的解析式的形式(式中a不为零)：
⑴顶点在原点时:
y=ax
2
⑵顶点在y轴时:
y=ax
2
+k
⑶图象过原点时:
y=ax
2
+bx
⑷顶点在x轴时:
y=a(x-h)
2
⑸顶点坐标为（h，k）时:
y=a(x-h)
2
+k
⑹已知图象上的三点坐标时:
y=ax
2
+bx+c
⑺已知图象和x轴的两个交点的横坐标x
1
、x
2
时：
y=a(x-x
1
)(x-x
2
)
2、
对于函数y=ax
2
+bx+c，根据函数图象判断a、b、c的正负：
①根据开口方向判断a的正负：开口向上a为正，向下为负。
②根据图象和y轴的交点的位置判断c的正负：和y轴的正半轴相交，c为正，和y轴的负半轴相交，c为负。
③根据对称轴x = - b/(2a)中的[- b/(2a)]的正负（对称轴在y轴左端时x为负，在右端时x为正）判断b的正负。
3、
二次函数y=ax
2
+bx+c的顶点坐标：
[-b/（2a），（4ac - b
2
）/（4a）]
4、
二次函数y=ax
2
+bx+c的单调性（增减性）：
设顶点坐标为（h，k）
⑴当a＞0时，若x≥h，函数y随x的增大而增大；
若x≤h，函数y随x的增大而减小；
⑵当a＜0时，若x≥h，函数y随x的增大而减小；
若x≤h，函数y随x的增大而增大；
5、
二次函数y=ax
2
+bx+c (a≠0)的图像关于x轴对称的函数的解析式是y=-ax
2
-bx-c；
关于y轴对称的函数的解析式是y=ax
2
-bx+c
▊ 七、分式
1、
分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式值不变
2、
分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变
3、
最简分式：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式，得到最简分式
4、
分式的加减法：
通分：取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母
①同公分母的分式加减法：分母不变，分子相加减
②异分母的分式加减法：先通分，后分子相加减
5、
⑴一元一次方程（略）
⑵可化为一元一次方程的分式方程（略）
⑶解分式方程的步骤：
①在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程
②解这个整式方程
③验根
▊ 八、根式
1、
数的开方：
①一般的，如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根
②一个正数有两个平方根，它们互为相反数
③0有一个平方根，它是0本身
④求一个数a的平方根的运算，叫做开平方
⑤正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根
⑥0的算术平方根是0
2、
如果正数的小数点向右或向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动1位
3、
立方根：
①如果一个数的立方根等于a，这个数就叫做a的立方跟
②正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根
4、
二次根式：
⑴分母有理化：把分母中的根号化去
⑵最简二次根式：满足下列两个条件的根式
①被开方数的因式是整式，因式是整式
②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式
⑶同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式
⑷
有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式
▊ 九、平均数
1、
①定义：一般的，如果有n个数x
1
x
2
x
3
… x
n
，
则：
= (x
1
+x
2
+…+x
n
)÷n
②当一组数据x
1
x
2
x
3
… x
n
各个数值较大时，可将数据同时减去一个适当的常数a ，得到：x
1
/
=x
1
-a 、x
1
/
=x
2
-a … x
n=
x
n
/
-a
则
x拔
=
x拔
/
+ a
常数a通常取接近于这组数据的平均数（约略估计）的整数
③加权平均数：如果在n个数中，x
1
出现f
1
次，x
2
出现f
k
次，…… x
k
出现f
n
次（f
1
+f
2
+…+f
k
=n ）则
=（x
1
f
1
+ x
2
f
2
+ x
3
f
3
+… +x
k
f
k
）÷n
2、
几个概念：
①总体：考察对象的全体
②个体：每一个考察对象
③样本：从整体中抽取的一部分个体叫总体的一个样本
④样本容量：样本中个体得数目
⑤总体平均数：总体中所有个体的平均数
⑥样本平均数：样本中所有个体的平均数
例1：初三全年级4个班数学测验平均成绩分别是 x拔
1
x拔
2
x拔
3
x拔
4
则全年级平均成绩是（ x拔
1
+ x拔
2
+ x拔
3
+ x拔
4
）÷4 这种算法不一定正确
⑴当各班人数相同时算式成立
⑵当各班人数不同时算式不成立
例2：已知两组数x
1
x
2
x
3
… x
n
和y
1
y
2
y
3
…y
n
的平均数分别 x拔和 y拔，求：
⑴一组新数据8x
1 +
8x
2 +
8x
3 +
… + 8x
n
的平均数（8 x拔）
⑵一组新数据x
1
+ y
1
x
2
+ y
2
x
3
+ y
3
… x
n
+ y
n
的平均数
（答案：x拔 + y拔
）
例3：一组数据的平均数能大于其中每个数据吗？能大于除其中一个数据以外的所有数据吗？（答案：不能；能，如6、2、
2、2的平均数是3）
例4：某校录取新生的平均成绩是535分，如果某同学成绩是539分，他肯定能被这所学校入取吗？为什么？（不一定）
例5：为了解某地区初三年级男学生的体高，从初三学生中抽测500名男生的体高，在这个问题中，下面说法正确的有（）个？
⑴总体是指该地区初三年级男生的全体
⑵个体是指该地区的每一位初三年级的男生
⑶样本容量是500名
⑷样本是指500名学生的体高
分析：因为本题考察对象是初三学生的体高，而不是学生，故⑴⑵都错，又因为样本容量是一个数，不带单位，故⑶错
例6：某衬衫店为了准确进货，对一周内商店各种尺码的男衬衫的销售情况进行统计，结果如下：38码的20件，39码的23件，40码的26件，41码的25件、42码的21件、43码的18件。则该组数据中的众数是
，中位数是
（答案：众数是40码；第67件居中间，所以中位数是40码。注意：不要答成众数是26，众数是出现次数最多的数据，而不是出现最多的次数）
例7、养鱼专业户为了估测鱼的重量，捞出10条鱼称的其重量如下：480g 1条、490g 2条、500g 3条、520g 4条，求样本平均数
（答案：504g）
例8、为了估测湖里有多少鱼，先捕上100条做上标记，然后放回湖里，过一段时间，等待标记的鱼完全和鱼群汇合后，再捕上200条，发现其中带标记的鱼有20条，湖里大约有多少条鱼？（答案：x：100 = 200：20
；1000条）
例9、当5个非负整数从小到大排列，其中位数是4，如果这组数据的唯一众数是6 ，则这五个整数可能的最大和是多少？最小和是多少？（答案：21 ；17）
3、
概念：
⑴众数：一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。
理解：注意出现次数最多的数据和出现次数最多次数两种说法的不同
⑵中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫这组数据的中位数
⑶对众数、平均数、中位数的理解：
①众数说明了该数据出现的次数最多；中位数说明了该组数据以中位数为点将数据划分为数据各占一半的两部分。平均数反应了改组数据的平均值。
4、
中位数的找法：
给我们一组数组，将该数组由小到大排列，设数组的个数为n，
1、当n为奇数时，n÷2得一小数，用进一法取整数f，则，第f个数就是该数组的中位数。
2，当n为偶数时，n÷2得一整数m，第m和m+1个数的平均数就是该数组的中位数。
3、众数、中位数、平均数从不同角度描述了一组数据的平均趋势，其中，又以平均数应用最为广泛
例1、判断题：
⑴只要一组数据中有一个数字变动，那么平均数就一定会跟着变动（答案：对）
⑵平均数一定有现实意义（答案：错）
⑶在一组数据中加入它的平均数，则新数据组中平均数不变
（答案：对）
例2、草地上有甲乙两群人正在做游戏，甲群人的年龄分别是：12、12、12、13、14、15、16、16、27；乙群人的年龄分别是：3、4、4、5、5、6、6、6、55、60
⑴求出两群人年龄的平均数、中位数、众数
⑵甲乙两群人年龄的平均数能代表他们各自年龄的特征吗？若不能代表，那么哪个数据能代表？
⑶说明：一般地，在一组数据中数值特别大（或特别小）的数据看作异常数，在有异常数的数据中，平均数和中位数可能相差很大，此时用中位数来反映这组数据的一般水平比较合适
例3、刘晓和尹凯是学习上的竞争对手，阶段考试成绩先出了语、数、外三门，刘晓的平均分较尹凯高出2分，物理分出来时，尹凯的平均分反超过刘晓1分了，化学成绩仍未出来
⑴在物理考试中，刘晓比尹凯低多少分？
⑵为保证自己的总平均分仍比尹凯多1分，刘晓的化学要比尹凯多多少分？
分析：⑴三门中刘晓高出6分，四门中刘凯高出4分，所以刘晓的物理比尹凯低10分；四门中刘晓比尹凯低4分，为保证刘晓比尹凯总平均分仍高1分，即总分多5分，所以刘晓的化学要比尹凯多9分
5、
方差：
⑴引入方差的目的：对于一组数据，除需要了解它们的一般水平外，还常常需要了解它们的波动大小（即偏离平均数的大小）
⑵概念：设在一组数据x
1
、x
2
、…、x
n
中，各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x
1
- x拔)
2
、(x
2
- x拔)
2
、…、(x
n
- x拔)
2
。那么，我们用它们的平均数来衡量这组数据的波动的大小，并把它叫做这组数据的方差
即：S
2
=[(x
1
-x拔 )
2
+ (x
2
-x拔 )
2
+ … + (x
n
- x拔)
2
]/n
⑶意义：一组数据的方差越大，这组数据的波动越大
⑷计算方差的两个变形公式
⑴ S
2
=[(x
1
2
+ x
2
2
+ … + x
n
2
) - n x拔
2
]/n
⑵若x
1
/
=x
1
-a 、x
1
/
=x
2
-a … x
n
/
=
x
n
-a
( 其中, x
1
、x
2
、…、x
n
是原已知的n个数,a是接近这组数据的平均数的一个常数)则
S
2
=[(x
1
/2
+ x
2
/2
+ … + x
n
/2
) - n x拔
/2
]/n
6、
标准差:
⑴概念:方差的算术平方根叫这组数据的标准差
⑵意义: 标准差也是用来衡量一组数据的波动大小的重要的量,标准差越大,数据的波动越大,反之亦然。
7、
方差、标准差综合概括：
一般地，若一组数据x
1
、x
2
、…、x
n
的平均数为x拔 ，方差为S
2
，标准差为S ，则：
⑴数组：x
1
+a
x
2
+a … x
n
+a的平均数为 x拔+a ，方差和标准差不变
⑵数组：kx
1
kx
2
… kx
n
的平均数为 kx拔 ，方差变为k
2
S
2
，标准差为kS
⑶数组：k x
1
+a
kx
2
+ a …kx
n
+a的平均数为kx拔 +a，方差为k
2
S
2
，标准差为Ks
例1：对一组数：-2、-1、x、1、2，若x为不大于10的非负数，方差为整数，计算标准差
答案：根据S
2
=[(x
1
2
+x
2
2
+ …+x
n
2
)-n
2
]/n 、 =x/5 、x=0或x=5 ∴S
2
=（10+4x
2
/5）/5 …
例2:已知S
2
=[(x
1
-5)
2
+(x
2
-5)
2
+…+(x
30
-5)
2
]/30 ，则各数据的平方和不可能等于①900 ②850 ③750 ④650
答案：∵S
2
=[(x
1
2
+x
2
2
+…+x
n
2
)-n x拔
2
]/n
∴(x
1
2
+x
2
2
+…+x
n
2
)-n x拔
2
≥0 故选④
8、
频率分布
⑴组距：指每个小组的两个端点之间的距离
分组数=（最大值-最小值）/组距
⑵频数：把数据总数分成若干小组，落在各个小组内的数据的个数叫频数
⑶频率：每一小组的频数与数据总数的比值叫这一小组的频率
9、
画频率分布直方图
⑴横半轴：各组组距
纵半轴：频率与组距的比。即 频率/组距
⑵小长方形的高=频率/组距=频数/(数据总数×组距)
∵(1/数据总数×组距)为常数
∴小长方形的高与频数成正比
⑶在频率分布直方图中,由于各小长方形的面积等于响应各组的频率、而各组频率的和等于1,因此, 各小长方形面积的和等于1
http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzIzODU5MjkxNw==&mid=2247836476&idx=7&sn=4a467b3c703490cfb40333a261269197
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