上周说到数学的本质是抽象，意犹未尽，今天接着聊。
数学的本质是抽象，那么如何从众多表象中抽取本质的信息？具体与抽象有什么关系？
一、所有的符号都是一种抽象
文字是一种抽象符号，无论汉字还是拼音。
数学是表达数量关系和空间关系的抽象符号，数字、符号、图形都是抽象符号。
从人类文明的历史看，语言的抽象先于数学符号，语言是思维（抽象）的外壳，语言是数学的最近发展区，是数学抽象的工具。
例如：合唱团有女生30人，比男生多1/5，男生有多少人？
如何抽象出数量关系？我认为主要包含以下几个步骤
1. 提取
提取关系信息，剔除无关信息，概括为：女生比男生多1/5。
2. 转化
根据语言规则和逻辑，我们把男生看作比的标准（单位“1”），女生比1多1/5，所以女生对应的分率是6/5，也就是：女生是男生的6/5。
3. 数学化
我们已经知道：一个数乘分数，表示求这个数的几分之几是多少。所以上面的数量关系可以用乘法表示：女生=男生×6/5
4. 符号化
为了便于演算和推理，我们需要进一步用符号表示数量关系，用数字表示已知量，用字母表示未知量：30=6/5X。
上面展示了一个数学问题抽象成等式（方程）的过程。语言是思维的外壳，没有语言的帮助抽象无法完成。
直观可以帮助我们理解抽象，例如我们在认识分数2/3的时候，将一个圆平均分成3份，取其中的2份。
直观无法代替抽象，例如六年级上册第三单元例2：小明2/3小时行了2千米，平均每小时行多少千米？
除法的本意是平均分，怎么解释把2千米平均分成2/3小时？线段图能解释吗？不能！六年级的儿童已经完成了对速度、时间、路程数量关系的抽象，不必再回到直观的阶段。可以借助文字进行意义的扩展，理解速度、时间和路程可以是整数，也可以是分数，它们之间的关系不变：速度×时间=路程。
如果不能进行抽象思考，一定是分数的问题，是数量关系的问题，不能把思维方式退到直观水平。
二、莫让直观限制了抽象
虽然直观是数学重要的工具和原则，但发展到一定的阶段，抽象就会代替直观，莫让直观限制了抽象。
继续以上题为例，课本呈现了如下图示
如果学生能看懂，得到的算法必然是2÷2×3，2段是2千米，那么每段是1千米，所以3段是3千米。
会有学生从中想到2÷2/3=2×3/2吗？
不太可能！
课本展示的推理过程是
2÷2/3=2÷2×3=2×1/2×3=2×3/2。
这很可能是编辑的一厢情愿，如果学生能完成这个推理，还需要线段图吗？
所以教学中我选择商不变规律，将分数除法转化为整数除法。能用抽象解决的问题，不能退到直观水平，这种后退不是稳健，不是保守，是温水煮青蛙，意识到问题的时候可能已经来不及了。例如
加工一批零件，甲单独做需要60分钟，乙单独做需要90分钟，甲乙合作完成任务，结果甲比乙多加工36个零件。这批零件共有多少个？
这是一个典型的工程问题，如果你仍然尝试用直观的方式帮助有困难的学生，如何直观展示1/60,1/90,1/5……
直观只会带给他更大的困惑，对分数产生更大的恐惧。
猿已经进化成人，已经学会了直立行走，为什么还要爬行？如果一直在地上爬行，将永远学不会奔跑。
三、抽象的意义在于不见而信
直观的意思是直接、可见，眼见为实，因为看见所以相信。
抽象与直观相反，抽象不可见。抽象需要不见而信，因为相信所以看见。
我们看不见历史，但我们相信历史存在；我们看不见银河，但我们相信身在其中。
如果我们只相信眼见为实，如何不被一叶障目？如何能一叶知秋？
一辆汽车每行6千米要耗油3/5升，照这样计算，1升油可行驶多少千米？行驶1千米要耗油多少升？
6千米要耗油3/5升，可操作吗？可见吗？
虽然不可见，但我们相信路程与油耗之间存在固定关系（照这样计算），无论耗油1升还是行驶1千米，这种关系不变，非常确信。
6千米耗油3/5升，6是3/5的10倍，里程数是油耗数的10倍，即路程=油耗×10。
当路程=1时，则有1=（油耗）×10，油耗=1/10升；
当油耗=1时，则有（路程）=1×10，路程=10千米。
简单吗？
抽象出数量关系，然后用数学关系解决现实中各种问题，这不正是数学的价值吗？
数学的价值在于抽象，抽象的意义在于不见而信！
