FEM（有限元）是Finite Element Method的缩写，FDM（有限差分）是Finite Difference Method的缩写，都是常用的数值分析技术，用以求解偏微分方程和其他数学问题，二者都要把连续问题转化为离散问题，但是离散的方式又有所不同，主要体现在网格上。本文将通过简单的案例来说明二者在网格上的区别。
如图是一个带中心孔平板的四分之一模型，现在我们将运用两种方法对此模型进行网格划分，当然今天涉及到的仅仅是二维网格。
现在我们首先使用FEM方法对平板区域进行网格划分。
###导入需要使用的库
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import math
###定义模型
L = 0.1
h = 0.05
r = 0.02
nb_element = 20
Nodes = []
###定义节点
for x in np.linspace(0,L,num = nb_element):
if(x<r):
y0 = math.sqrt(r**2 - x**2)
for y in np.linspace(y0,h,num = nb_element):
Nodes.append([x,y])
else:
for y in np.linspace(0,h,num = nb_element):
Nodes.append([x,y])
###绘图
points= np.array(Nodes)
plt.plot(points[:,0],points[:,1],'o')
plt.show()
图形如下:
###进行网格划分
from scipy.spatial import Delaunay
###此处调用了Delaunay网格划分器
tri = Delaunay(points)
plt.triplot(points[:,0],points[:,1],tri.simplices)
plt.plot(points[:,0],points[:,1],'o')
plt.show()
可以看到，在中心孔处，生成了一些多余的网格，接下来把这些网格去除掉。
p = []
r2 = 0.0195
for x in np.linspace(0, r2, 10):
p.append([x,math.sqrt(r2**2 - x**2)])
tri.find_simplex(p)
###查找多余网格的编号
###去除多余网格
mesh = np.delete(tri.simplices,[0,153,154,21],0)
plt.triplot(points[:,0],points[:,1],mesh)
plt.plot(points[:,0],points[:,1],'o')
plt.show()
以上是使用FEM方法绘制的网格图，当然除了三角形网格还可以绘制四边形网格，不过过程比较复杂，此处仅仅是作为演示，因此调用了现有成熟的方法进行三角形网格划分。Delaunay三角剖分有很多有意思的内容，包括剖分思路以及如何写网格算法，之后有时间将和大家进行探讨。
接下来使用FDM方法进行网格划分。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 定义网格参数
num_points_x = 20
num_points_y = 20
x_min, x_max = 0.0, 1.0
y_min, y_max = 0.0, 1.0
# 在二维区域内均匀生成网格点
x = np.linspace(x_min, x_max, num_points_x)
y = np.linspace(y_min, y_max, num_points_y)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
# 删除以坐标 (0, 0) 为圆心、半径为 0.4 内的点
radius = 0.4
distance_to_center = np.sqrt(X**2 + Y**2)
mask = distance_to_center > radius
X = X[mask]
Y = Y[mask]
# 可视化网格边界
plt.plot(X, Y, 'ro', markersize=5) # 绘制被删除的点，使用红色
plt.plot(X, Y, 'bo', markersize=5) # 绘制保留的点，使用蓝色
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.title('Finite Difference Grid')
# 绘制纵向网格线
for i in range(num_points_x):
color = 'red' if mask[0][i] else 'gray' # 根据标记选择线的颜色
plt.axvline(x[i], color=color, linestyle='--', linewidth=0.5)
# 绘制横向网格线
for j in range(num_points_y):
color = 'red' if mask[j][0] else 'gray' # 根据标记选择线的颜色
plt.axhline(y[j], color=color, linestyle='--', linewidth=0.5)
plt.show()
最终结果图如下：
我们可以看到网格的边界处（红色线条）不是很平滑，因此我们更改网格参数
num_points_x = 100
num_points_y = 100
结果如下：
可以看到边界处比较顺滑，但是此时的节点数过多，如果进行计算，则计算时间会很长。通过对比可以发现，同等情况下，有限元网格对于曲面的处理效果要比有限差分网格好得多，这也会影响到最终计算结果的精度。
