0.9999...=1？
01
在日常生活中，我们习惯了有限小数和整数的使用，对于无限循环小数，尤其是0.99999...这样的数，很多人会有疑问：它真的等于1吗？直觉上，它似乎总是比1小那么一点点。
先来看一个“简单明了”的证明：
设x = 0.99999...，那么：
10x=9.99999...
将两个等式相减，得到：
10x−x=9.99999...−0.99999...
即9x=9，则x=1，
因此，0.99999...=1。
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这个证明确实是简单明了，那它是正确的吗？
NO！
证明过程的问题出在标红的部分，无限小数的加减乘除已经不遵循有限小数的规则了。这个证明揭示了一个更深层次的数学概念：无限级数的求和。后文会详细讲到。
02
再来看高中生的做法：
数字0.99999...可以被看作是一个无限等比级数的和：
0.99999...=0.9+0.09+0.009+⋯
这是一个首项a=0.9和公比r=0.1的等比级数。当公比的绝对值小于1（|r|<1）时，无限等比级数的和 S 可以用公式
来计算，将 a=0.9 和 r=0.1代入上述公式，得到：
因此，0.99999...=1。
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03
上一部分直接用等比数列求和公式好像也有点问题，因为高中学的是前n项求和，没有涉及到n→∞时的情况。
为了更严谨的证明，我们可以利用大学的高数知识，考虑等比数列部分和的极限。
设 S 为无限等比数列的和：
S = 0.9 + 0.09 + 0.009 + ...
首项a=0.9，公比r=0.1，等比级数的和：
代入 a=0.9 和 r=0.1，得到：
为了找到无限数列的和，取 Sn 当 n 趋向于无穷大时的极限：
当n趋向于无穷大时，(0.1)^n 趋向于0，因为任何小于1的正数的无限次幂趋于0。因此：
因此，0.999...等于1。
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0.99999...等于1的含义
当我们说0.99999...等于1时，实际上是在说：随着小数位数的无限增加，0.99999...无限接近1。在数学上，使用极限符号来表达这个概念：
01
无限循环小数
虽然这个问题在数学上已经得到了明确的解答，但在实际应用中，我们仍然需要小心处理无限循环小数。
02
精度限制
在计算机科学中，浮点数运算可能会受到精度限制的影响，导致无法精确表示无限循环小数。
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数值计算
因此，在进行数值计算时，我们需要选择合适的数值方法和工具来确保结果的准确性。
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