循理入法 单元统整
——吴正宪老师“小数除法”教学评析
肖莉 | 广东省深圳市布心小学，特级教师，正高级教师
甲辰龙年春，西子湖畔，全国著名特级教师吴正宪的“小数除法”一课，因学生“已学过算法却不知算理”的学情，经验丰富的吴老师临时改变教学设计，依学情而教，围绕算法“讲道理”，围绕单元主题统整，引领孩子“旧饭新炒”，给大家带来了“好吃”又有“营养”的数学课。
一、一致性角度贯通算理
《义务教育数学课程标准（2022年版）》增强了整体性要求。在小学“数与代数”领域，具体说来就是要突出“三个一致性”。
一是“数的概念”的一致性，让学生体会整数、分数、小数本质上是一个整体，“数是对多少个计数单位的表达”，形成数感和符号意识。二是“四则运算”的一致性，让学生从四则运算的意义和算理上感悟一致性，以“计数单位”为核心，培养学生的数感、推理意识和运算能力。三是“数与运算”的一致性，沟通数的概念与数的运算之间的关联，感悟基于计数单位、运算律等实现数的概念与运算的一致性，明确“算理是算法的因，算法是算理的果”。
本节课便是基于“数与运算”的一致性，“循理入法”“顺理成章”，体现了吴老师高超的教学艺术和应变能力。
“97÷4余下的1元钱怎么分？”利用“元角分”十进制媒介，吴老师精设问题串：“本来是1写成10，可以吗？”“10角平均分成4份，用去8角，剩下0.2元够不够分4等份?”“2角化成20分，可以了吗？”“你们干了一件重要的事，把“角”细化成以“分”为单位的数，就可以分了。”“现在如果把“元角分”去掉，十进制计数单位下的“1”为什么变成“10”？”“小数点的作用是什么？”在“分分分”的过程中，学生通过类比迁移，从有具体单位支撑过渡到计数单位支撑的小数除法，真切感受抽象的算理到具体的算法的演变：在整数有余数的除法基础上，不够分，把余数1细化成了10个0.1，继续分，又余下了2个0.1，不够分，继续把2个0.1细化成20个0.01，正好分完。“单位小了，数量就大了，就够细分了”。
二、大单元理念结构整合
《义务教育数学课程标准（2022年版）》确立了核心素养导向的课程目标，强调“重点是对内容进行结构化整合，探索发展学生核心素养的路径”“重视单元整体教学设计体现数学知识之间的内在逻辑关系，以及学习内容与核心素养表现的关联。”
本课，吴老师从“理解运算能力，把握小数除法的数学本质；理解儿童，把握儿童的认知规律”来进行单元整体结构化整合。突破传统的教材编排，对教材进行调整和组合，以“被除数和除数都是整数的小数除法”作为起始学习，不再将“被除数是小数的除法”作为例题学习，而是作为巩固练习。课堂中，我们欣喜地发现，解决了97÷4的问题，9.7÷4的算理也随之贯通了。
大单元统整“数的概念”是理解小数除法的基础，吴老师强调“1”是重要的计数单位，从“1”出发，可以十倍十倍地翻，一而十，十而百，百而千，千而万……可以十倍十倍地缩，0.1，0.01，0.001，0.0001……“前不见头，后不见尾”。这样的数学模型以计数单位为核心要素，统领数的概念，将整数与小数整体联结，让学生能够充分体会知识的本源性与一致性。
在整数、小数、分数除法运算的关联中，吴老师说“在有余数的除法中，个位上的“1”不能像十位上的“1”那样继续分了，但是不知道在未来的日子里这个小“1”还能不能继续分呢？——等啊等，一等就是两年多。”“当初，余数“1”本来是“死棋”的，不够分了。今天，这个余下的“1”还是不够分，但又“活”了，是“前不见头，后不见尾”的计数单位帮助我们来运算。原来啊，整数除法不就是在分计数单位吗？小数除法与整数除法差不多，都在分计数单位”“未来的你们将要学习分数除法，比如：÷3，难道也是分计数单位吗？也是不够分了，再细化计数单位吗？这与整数除法、小数除法是不是一个理？让我们共同期待！”此处教学，既突出了结构化、整体化、逻辑化的大单元知识统整，也体现了教学的一致性和阶段性。
三、情境化设计思维进阶
“注重创设真实情境”是吴老师的一贯风格，也是《义务教育数学课程标准（2022年版）》的要求。
上课伊始，吴老师创设具身体验情境，将数学活动置于真实的生活背景中，并让学生从繁杂的信息中抽取出重要的数学信息。比如这节课的“4个人，97元，AA制”，与教材情境“买了4本书，一共花了97元，平均每本多少元”相比，离孩子更近些。吴老师从现实中的问题到数学中的问题（97÷4），从有余数的除法过渡到小数除法（余数必须继续分），遵循的是弗赖登塔儿所说的“数学现实”“数学化”原则，使学生在解决生活情境问题的过程中，发展高阶思维。
课中，同学们体验小数点“不可替代”的“定海神‘点’”作用后，吴老师又设置了一个故事情境引出小数点的站位——“这是当初的你们，学习小数除法的模样？”“没有小数点，直接添0？”“竖式里这几步的小数点到哪去了？”“商大哥不干了，因为辈分乱了”“到底要看谁才能确定小数点呢？”“为了让竖式更简洁，兄弟几个开会了，谁的小数点不能省略？（被除数）”“商大哥听谁的？“商的小数点要和谁对齐？”“否则会乱什么？（乱计数单位）”“整数除法和小数除法都是？（相通的）”“不够分怎么办？（再细化）！”课堂就是在对一个个问题的追问中，从计算的“合理性”走向计算的“简洁性”！
建好“承重墙”，以“计数单位”为核心，统领运算；打通“隔断墙”，沟通“数概念”与“数运算”的一致性关联，形成“数与运算”大单元整体下的结构化整合。横向联结，纵向贯通，内向思维，外向发展。吴正宪老师的课堂，深度对话下，温暖的格调总依旧！
遇见学科实践的理想样态
————听张齐华老师《用数对确定位置》一课有感
孙钰红 | 浙江省杭州市拱墅区小学数学教研员
2022版义务教育课程方案和课程标准明确指出要以深化教学改革为突破，强化学科实践，推进育人方式变革。学科实践作为一种学科学习方式，是实现学生知识学习向学科素养转化的基本过程和方式。真正关注学科实践的日常课堂是怎样的样态，“数学王子”张齐华老师执教的展示课《用数对确定位置》为我们做出了精彩示范。
一、理解学科内涵，为实践活动的推进奠基
1.明晰学习内容核心，构建实践活动的基本学习路径
张老师在课上得心应手、从容自如，总能恰到好处地引导学生向更深度的学习推进，其背后是他对知识本质的深度剖析和对知识核心的精准把握。课上张老师对学生的问题进行精准分类，快速筛选出三个指向核心的课堂实践驱动性问题“怎么写数对”、“为什么用数对表示位置”、“为什么这样写数对”，以解决这三个相互关联的好问题为基本学习路径，有效引导学生对数对本质的理解，形成清晰的结构化学习路径。
每一个精彩瞬间都能体现出张老师对教材解读和学生认知的透彻研究。教师需要不断提高本体性的知识理解，准确把握知识本质和学情，才能从容高效地应对学生的提问，及时有效地将学生的思维和认知向高阶推进。
2.拓宽内容解读背景，基于一致性建构结构化体系
新课标指出，在教学中要注重教学内容的结构化，这已是一线教师的共识。如何在教学中对学习内容进行结构化构建，张老师基于内容主题这一大背景下的解读，引领我们对结构化建构作出新的思考。
课中学生提问“为什么用数对确定位置？”，这一问题指向“数对学习价值”的探讨。在以往教学中，常常局限于小学知识体系，认为数对学习的价值只是在于“简洁表达”。张老师用长程视角进行分析，联结本节课与后续平面直角坐标系这一学习内容的关系，从内容一致性的角度引领学生初步感悟用数对可以帮助初中学习更好地研究形。为用数对数形结合解决几何问题做引申。
在教学中教师应重视对教学内容的整体解读，拓宽学习内容的解读背景，以更好地帮助学生建立体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系。
3.思维可视化表达，基于板书深化内涵理解
张老师本节课的板书近乎完美地呈现了预设与生成的过程。他的板书中清晰呈现出结构化的知识脉络和关键的思维逻辑，为学生的学习过程和思维可视化的呈现提供有效支架。
张老师以一副班级座位图为核心版图，在学生经历三个结构性问题的解决过程中把数对的形成过程进行有序呈现，展现原有对“位置”的繁琐表述向用“数对”表示的简约化过程，以“行”所在的横线与“列”所在的竖线相交与一点的动态展现为学生确定数对提供了知识与方法的保障，并将整副图与平面直角坐标系第一象限建立迁移时进行统一和一致性的勾连，将数对表示位置的本质内涵向数形结合的高阶学习推进。
二、深化实践活动，助力核心素养扎实落地
1.切中核心的真问题解决引发实践活动深度推进
真问题才能撬动真学习，真问题是促进核心素养发展的出发点。真问题从何而来？真问题如何有效撬动课堂？我们在张老师的课堂中找到答案。张老师以学生提问为出发点，通过独立研究，提出属于个体的原生性问题，进而引导学生在通过10分钟的组内共学中，在相互分享与答疑中，提炼出团队的共生性问题。这些真问题切中本节课的内容核心，也直指学生的学习困惑。
学生学习全程就是解决自己提出的三个真问题的过程，这些问题不断触碰学生真实的经验边界与思维现状，提问撬动起好课堂！正如张老师所说：孩子提问可以打开课堂无穷的想象力，只要我们的课堂舍得让孩子们提问，课堂学习样态一定会迎来一个全新的面貌。
2.完善的共同体制度建设保障实践活动有序开展
本节课中学生的表现令人惊叹。课堂伊始呈现的就是学习共同体长达10分钟的交流学习过程，表达、交流、互动、对话、倾听、追问、质疑……高质量的对话在学生间不断发生：“大家对我的目标有疑问吗”、“带着你们的问题进行我们下面的研究“、”这两个数对有什么联系？又有什么区别呢”……课堂在学习共同体成员不断的对话与提问中向深层迈进。
共同体学习过程的组织如此有序、互动如此深度，孩子们是怎么做到的。课堂中张老师呈现的一份份合作小口诀以及讲座中提到的“提出优质问题的20个小妙招”揭晓了我们的疑惑。完善的学习共同体制度建设有效保障了实践活动的顺利开展。从这节课中我们也真正感受到优质的实践过程是需要教师作出精心的布署并长时间的训练才能有效形成的。
3.批判性思维场的构建促成创新意识发展
基于真问题的学习与优质共同体学习组建设，在课堂中成功地营造起一个批判性思维学习场。教师只是一个组织者、引导者、合作者，学生在课中互相质疑、互相启迪，修正完善他们对于学习内容的认知。如在解决“怎么用数对确定位置”时，学生之间的碰撞就很好地突破了观察视角的难点。
生1：我觉得还有个很重要的信息，这里有个讲台，讲台其实是从老师的视角。这个讲台也很重要，如果讲台在上面的话，那么这边就是第1行、第2行……，但是列不会发生变化，刚才的位置就变成第4列、第4行，大家有补充吗？
生2：我对你的想法有意见，如果讲台在这里，就相当于把这个翻转过来了，这一列应该是第3列。
生1：我觉得你说的有道理。
基于审辩的批判性思维，有利于学生从整体、全局和结构上展开思维，而这正是高阶思维应该具有的品质。数学批判性思维的培养，为发展学生创新意识不断提供源泉。
张齐华老师的课让我们遇见心目中学科实践的理想样态，清晰地触摸到未来教学追寻的目标。学科与实践的深度融合助力学生全情投入、酣畅淋漓地置身于探索与对话空间，此时他们是学习真正的主人，核心素养的达成就是在这样的场景中悄然实现。
诚如张老师所说，所有的优秀都源自于教师精心的规划与设计。我们可以想见背后一定是教师对于学习内容、学生学情的无数次拷问，极尽的预设、精细的安排才能实现灵动的生成、有序的推进。学科实践这一学习方式无疑对教师提出了巨大挑战！
课堂因思辨而灵动
——听俞正强老师执教三年级《小数的初步认识》一课有感
杨迎冬 | 浙江省杭州市钱塘区教师教育学院，特级教师
俞老师的课堂一向以新颖独特、思辨性强、富有哲理著称。听他的课总能给我们带来思想上的启迪与智力上的享受。那是一种怎样的“新”？怎样的“特”？怎样的“辨”？怎样的“哲”？我们不妨透过俞老师执教三年级的这节《小数的初步认识》一课，来见微知著。
一、一与多
与很多老师喜欢一个一个地点学生发言不同，俞老师喜欢“开小火车”一样地请一竖排很多的学生发言。多数学生意见都是差不多的，但是总有个别学生有不同意见。这样的好处是增加“样本”，省时省力，简便易行，使得各种想法容易暴露出来。
比如：开课伊始，学生写出了一些小数，俞老师问:判断一个数是不是小数的依据是什么？一排“小火车”开下去，有五个学生说“有小数点”，但是有一个学生说“比 1 小”，这就很好地暴露出了学生的前概念、迷思概念、模糊认识。
再比如：“120.012”的读法，一排“小火车”开下去，问题就暴露出来了，除了正确答案外，有人误读成了“一百二十点一二”（漏读了小数点后面十分位上的 0），还有人误读成了“一百二十二点零一二”（把个位上的零读成了二）。
关于小数的迷思概念有二——小数都“比 1 小”吗？小数部分的读法和整数部分一样吗？俞老师是很懂孩子的，他用“开小火车”的形式，成功地把孩子心底的模糊认识“钩” 了出来。他把学生的错误看成是宝贵的教学资源，出现错误之后并不急于纠正，而是循循善诱，在与学生的亲切互动中“不愤不启，不悱不发”——“错着错着就对了，聊着聊着就会了！”
我们知道，学习中，有些错迟早都要犯的。作家张爱玲也认为：人生有些弯路，你是非走不可的。既然教学中绕不过的是学生的疑惑，那么最有价值的当然是从学生的疑惑处开展教学。如果在学习过程中我们剥夺了学生犯错的机会，那么错误可能会暴露在考卷里。因此，高明的教师不会“守株待兔”，被动地等待学生错误的自发暴露，而是主动出击，像俞老师这样，从“自发暴露”走向“诱发暴露”。反过来说，学生在无挫折的学习环境中，可能会掩盖知识理解上的片面性与肤浅性，影响对知识的深入理解。
二、此与彼
学生们贡献出自己脑袋里的小数，“原生态”的有：0.x、0.1、0.5 等，俞老师适时补充两个：12.12、120.012。注意：师生贡献出来的实际上是不同的两类，此类与彼类：
学生们贡献出的是他们认知中的“标准”小数，都很简单——都比 1 小，都是一位小数，都是零点几；
俞老师贡献出的是学生认知中的“盲点”小数，都不简单——都比 1 大，至少是两位小数，并且都有个性与特点：小数部分上的数字和整数部分上的数字是一样的（12.12），有一个还特意带上零（120.012）。
比 1 大，就是要突破学生的思维定式，改变学生以往概念里“小数都很小”的错误观念；
小数部分上的数字和整数部分上的数字是一样的（如 12.12），是为了教学小数的读法，突显小数部分的读法和整数部分的读法不一样。整数部分和小数部分都带零的小数（120.012），是为了突显整数部分的 0 和小数部分的 0，读法也不一样。
《庄子》中说：“始生之物，其形必丑”，意思是刚产生的事物，样子一定很丑，如化蝶之蛹、刚出生的婴儿等。比喻新事物刚产生的时候不够完美,需要逐渐的完善才会更美好。同理，学生对小数这个概念的最初认识，也是“丑”的、模糊不清、不准确不完善的。正确的认识往往也不是一次能完成的，而是需要经过由实践到认识，由认识到实践的多次反复，知行合一不断完善，才能得出更加合乎实际、更加接近本质的概念认识。
三、收与放
出示微课：
为了量一张书桌，大宝用 1 米长的尺子去量，还有多的——就创造出新的计量单位:把 1 米平均分成 10 份后再用 1 分米去量，还有多的；最后把 1 分米平均分成 10 份再用 1 厘米去量，刚好量完，记作：1 米 1 分米 1 厘米。
为了量一张书桌，二宝用 1 米长的尺子去量，还有多的——就创造出新的计数单位：把 1 米平均分成 10 份后再用 1 分米去量，得到 0.1 米，还有多的；最后把 0.1 米平均分成 10 份再用 1 厘米去量，得到 0.01 米，刚好量完，记作：1.11 米。
在看完“大宝二宝创造性地完成任务”微课后，俞老师提出了两个问题，如同放风筝一样，一放一收，引导学生在个性中寻找共性，在变化中寻找不变：
先“放”：大宝二宝的方法是一样的吗？
学生回答：不一样，一个创造出了新单位，一个创造出了新小数。大宝的做法就是我们二年级时学的方法，二宝的做法就是我们三年级时学的方法。
再“收”：大宝二宝不一样的方法中有哪些是一样的？
学生 1：问题和答案是一样的。
学生 2：都是平均分成 10 分，都是 1 米不够用，需要把 1 米、1 分米平均分成 10 份。俞老师引导大家倒过来看：10 个 1 厘米是 1 分米，10 个 1 分米是 1 米；10 个 0.01 是 0.1， 10 个 0.1 是 1。（相邻两个单位之间的进率都是 10）
学生 3：都在创造——米不够了就创造出了分米，分米不够了就创造出了厘米；1 不够了就创造出了 0.1，0.1 不够了就创造出了 0.01。（数学的产生是为了解决生活中的难题）
“大宝的做法就是我们二年级时学的方法，二宝的做法就是我们三年级时学的方法”，这种“长程”视角，跨年级跨单元的视角，源于俞老师时时刻刻、事事处处，总希望使知识以“系统中的知识”的面貌出现在学生面前，使学生养成从系统的高度去学习数学，更着重哲理观点的升华，使得学生“见树木更见森林、见森林才见树木”，让学习充满“生长”的力量。
四、动与静
陶行知先生有过一个精辟的比喻：“接知如接枝”，他说：“我们要以自己的经验做根，以这经验所发生的知识做枝，然后别人的知识方才可以接得上去，别人的知识方才成为我们知识的一个有机部分”。
的确，“接知如接枝”，数学来源于生活，像小数的读法写法、书写形式、大小比较等等，与学生已有的生活经验密切有关，“活着活着”他就明白了。但是对于为什么相邻两个小数单位之间是 10、名数互换这一类的问题，是比较抽象和数学化的，是要靠深度学习，“想着想着”他才能明白了。也就是说，学生们既要动如脱兔般地“动”，去实践，获得丰富感性的生活经验，同时还要静如处子般地“静”，要思考，获得理性深刻的数学理解。对于建立一个概念来说，学生的生活经验只是在进行量的积累，深度学习才会产生质的飞跃。
英国数学家哲学家怀特海“过程哲学”认为学习是“浪漫、精确、综合”三个阶段的阶梯式循环上升的过程，生活经验难免“浪漫”，深度学习才能抵达“精确、综合”。
综上所述，俞老师身上有一种理性思辨的哲学气质，这源于他既理解高深的数学奥妙，又能读懂孩子的炽热内心，所以他的课堂因思辨而灵动，他的教学既深刻又生动。
字母表示：发展符号意识的重要载体
——强震球老师《用字母表示数》一课赏析
潘红娟 | 浙江省杭州市上城区小学数学教研员，特级教师
“用字母表示数”，是由自然算术语言向抽象代数语言过渡的起始，是代数学习的入门知识，是学生学习方程、不等式等的重要基础。2022年版课标更是强调，在具体情境中，探索用字母表示事物的关系、性质和规律的方法，感悟用字母表示的一般性。
如何感受字母表示的一般性？如何在用字母表示数与数量关系的过程中，发展学生的符号意识和代数思维？在强震球老师充满激情、又不失理性的课堂上，带给我们很多启示！
一、聚焦核心目标，凸显代数思维
确定的数，用数字表示。可能的数，用字母表示。这是“用字母表示”这一内容在数观念上的一次突破，也是学生从算术思维向代数思维过渡的重要节点。
如果我们对这一内容从知识技能目标略作罗列，不同的教师会有不同的定位，比如：
“感受用字母表示数的优越性”；
“学会用含有字母的式子表示数和数量关系；
“用字母表示运算定律、计算公式”；
“掌握简写的方式，包括“字母与字母相乘”、“平方”、“字母与数字相乘等”；
“学会代入求值”；“感受函数定义域”；
“用字母解决实际问题”，等等。
这么多目标，孰轻孰重？显然，强震球老师作了战略性的价值判断，将“体会用字母表示数的一般性、概括性”，作为本课的重要目标、核心目标加以凸显。无论是“用字母表示三角形个数和小棒根数”，“用字母表示信封中粉笔的数量”，还是“用字母表示已经行的千米数和还剩的千米数”，始终让学生经历并体验“数只能代表一种情况，而字母以及含有字母的式子可以表示任何一种情况”，从而很好完成了从“确定”到“不确定”、从“算术思维”向“代数思维”的转变。
二、立足核心素养，发展符号意识
优秀的教师眼中不仅有知识技能目标，更有可迁移的素养目标。“符号意识”、“模型思想”、“函数思想”等课程标准所提出的核心概念、思想方法，我们都不难在强老师“用字母表示数”一课中找到素养培养的清晰轨迹。尤其是符号意识的培养，在本课中得到了彰显！
“知道符号表达的现实意义，能够初步运用符号表示数量、关系和一般规律”、“初步体会符号是使用数学表达和数学思考的重要形式”，是“符号意识”的具体表现。强老师的课中，不断引导学生经历用符号表达的过程，体会符号表达的简洁性、一般性与概括性。
任务1：“摆一个三角形用3根小棒，能不能把所有的情况表述出来”，学生从用“无数个”、“无数根”，到用字母“a”、“a×3”，用“n”、“n×3”，分别来表示三角形的个数与根数。任务中，学生初步体会用符号表示数量、数量关系的一般性。
任务2：“甲乙两地距离280千米，想办法表示出行驶一段距离后剩下的路程”，学生从用“280-50”、“280-154.5”，到用“280-a”表示，再次体会符号表示数量关系的概括性。
任务3：“信封袋里有几根粉笔，放入4根，现在有几根？”第三次体会用“x+4”能表示“现在比原来多4根”这一数量关系。
任务4：“a×3还可以表示什么？”学生认为，可以表示“黄花是红花的3倍”、可以表示“3盒饼干的块数”、可以表示“黄花是红花的2倍时两种花的总数”……“理解符号所代表的数量关系”这一目标悄然孕伏。
以上学习过程，既是数学抽象的过程，也是发展学生符号意识的过程。而且，从学生的表现看，从“用字母表示静态的数量关系”到“能够用含有字母的式子表示变化中两个变量之间的关系”，从认为“字母可以表示任何数”到体会“字母表示受限制的数”，符号意识的水平进阶清晰可见！
三、捕捉生成材料，凸显生本理念
纵观整节课，教师设计了三个最为核心的任务：用字母表示“用了几根小棒”、“行驶了一段路程后剩下的千米数”、“信封中粉笔的根数”。每一个任务，教师都为学生提供了独立思考、自主表达的空间，引导学生充分交流。学生们基于自己的经验，错误的有之、不够理想的有之、正确完美的有之，教师将各种情况一一呈现，引导比较辨析。我们来看几个教学片段：
片段一：在“用了几根小棒”任务中，教师在学生众多的作品中有效捕捉了以下材料：
——材料1：摆了“10000”个，用了“3×10000”根小棒
——材料2：摆了“无数”个，用了“无数”根小棒
——材料3：摆了“a”个，用了“a×3”根小棒
——材料4：摆了“n”个，用了“n×3”根小棒
教师相机追问：“如果选择其中一个，留哪一个？”“不同的表示方法，有什么相同的地方？”正是因为有了典型素材的捕捉与比较，学生对“一个不确定的、有变化的、未知的数，可以用字母来表示”、对“用字母表示非常简洁、非常概括”，感悟十分深刻！
片段二：在“表示出行驶了一段路程后剩下的千米数”任务中，过程同样精彩：
——材料1:280-x
——材料2:a
追问：这两种表示有什么不同？
——生：a可以表示任何数，但280-a可以看出数量关系
——生：a可以表示任何数，但这条路最多280米，不可能是比280米多。
这一片段的精彩之处，不仅让学生深刻体会到“用含有字母的式子可以表示数量与数量之间的关系”，又为学生初步体会“自变量的取值范围”提供了可能。
无疑，强老师的课中，为教师们如何选择生成素材、如何追问总结、如何组织交流反馈，提供了极好的示范！
课堂是学生的
——罗鸣亮《认识图形》一课教学赏析
费岭峰 Ι 浙江省嘉兴市南湖区教育研究培训中心，特级教师，正高级教师
罗鸣亮老师的课，一贯的幽默，一贯的气场。
“四边形认识”，是“图形与几何”领域的基础性内容，也是后续学习平面图形的基础。在知识层面上，这节课的基本目标是，引导学生认识四边形、平行四边形、梯形等；在数学思想方法层面上，体会分类思想，即分类时需要有一定的标准。但在学习方式的层面上，如何突出“学为中心”，让孩子们成为课堂学习的主人呢？罗老师在这一节课上作了尝试，就是基于学生的问题的推进，引导学生在课堂上相互质疑，提出问题，然后通过共同研究解决问题，获得发展。接下来，我们就来深入品味下这节课。
一、有疑惑，才有真思考
疑惑往往是一个人学习的起点，解惑更是一个人学习的动力。在罗老师的课上，学生在一个又一个的疑惑中生成学习的欲望，努力解惑又成为了进一步学习的动力。
当看到7个图形后，学生花了时间去分类。呈现了许多的困惑。
生1：这几个图形有点难分出来，到底哪几个是一样的？感觉所有的都没有一样的。
生2：我感觉这7种都一样，不知道该咋分。
生3：第一次我发现要分成3类，第二次我又看了又要分成4类。
生4：我的困扰大概分成几组，长得都很像，后来还是分出来了。
生5：我分成规则图形和不规则图形，不知道这个3号图形属于哪一类。
生6：我不知道分类的要求。
……
这些困惑，也真实存在于学生的心中。从表情就能很真切地感觉到学生在分时碰到了困难。同时，从学生有调整，更可以看出学生心中是有纠结的。“到底应该怎样分呢？”困惑产生后，老师并不是直接给出答案，或组织学生直接交流答案，而是让孩子继续自主完成。这次当然是小组为单位的交流。
二、真思考，才有真问题
课堂的第二个提问环节，是在学生有了各自的一些分类结果后，教师呈现了一种分法，即1、5、7号为一类，3、6号为一类，4、2为一类后，学生再次提出了问题。应该可以这么说，这三类分法，有些孩子可能分的是一样的，有些则可能不一样。因为有了前面的分的过程，有了相应的纠结，于是也就有了质疑。
生1：按什么来分的呢？
生2：按什么标准来分类的呢？
生3：为什么要这样分呢？
生4：7号为什么要和1号、5号分在一起呢？
……
不同的表达，其实都是直接指向于“标准是什么”的问题。这也是本节课的核心目标，即标准意识也是分类的基础。
深入分析，孩子们对于分类，有一定的经验，分类需要找到标准也是有一定的认识基础的。只是这次分四边形，似乎有点复杂了。标准难以确定。还是这句话，真的碰到问题了，需要去思考了，真正去思考了，问题也就真实了。
三、真探究，才有真收获
本节课的精彩部分，当然属于交流、碰撞的环节。
从疑惑开始，有了相应问题。然后进一步思考，又有了新的问题。核心问题当然是需要解决的。本节课的重点环节，教师就是去激活学生的思维，引发学生的思维碰撞。
讨论7个图形分成了三类后，引导学生说出“这样分”的依据。
第一位学生只是直观描述了三类图形。事实上表现为已经意会，却还不能言传。
第二位学生则是以数学元素作为标准来表达了。第一类两组对边平行，第二类一组对边平行，第三类没有对边平行。
其实，以对边平行为标准来分这些四边形，是本节课的重点，也是难点。当将学生的讨论焦点自然地引到这个点上时，课堂已经成功了。其他的内容也就迎刃而解了。
不过，后续的学习课堂仍然是学生的。关于“到底平行不平行”的争论，关于“韦恩图”的讨论，都是课堂出彩的部分。
还是这句话，罗老师的课，幽默大气，又不失数学味；生动活泼，以学生为中心。
以上只是个人感受，不当之处，还请见谅！
突显计数单位 贯通运算算理
——徐彬老师《小数乘法再认识》教学赏析
田小勤 | 浙江省杭州市上城区小学数学教研员
《义务教育数学课程标准(2022年版）》指出:在小学“数与代数”领域,要让学生感悟数概念的一致性,形成数感和符号意识；感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数运算的一致性，形成运算能力和初步推理意识。关于“数与运算的一致性”，快速地成为研究讨论的热点话题，已然成为新一轮数学课程改革的重要标识。今天，徐彬老师也在积极探索，通过《小数乘法的再认识》，以引领学生体会小数乘法和整数乘法、乘法运算和加减运算本质的一致性，给听课老师带来示范与启发。
一、着眼现有教材内容，弥补认知盲点
任何一次课程改革，都会引发教学理念与方式的变革，相应的，也会重新编排教材的序列和内容。由于衔接问题，会导致非起始年级学生遭遇某些知识盲区。如现在五年级学生，在上册已经学习了小数乘法，其主要算法是根据积的变化规律转化成整数乘法计算，而现在倡导的是获得“计数单位”个数的本质。显然，关于计数单位0.1和计数单位0.1相乘为什么得到新的计数单位0.01，学生也不太理解其中的道理，而这恰恰是“运算一致性”不可或缺的重要基础。徐彬老师在教学中结合0.2×0.3的探究，突出“0.1×0.1=0.01”的算理理解。通过画图，聚焦小数的意义，理解边长“0.1”就是把“1”平均分成10份，表示其中的1 份；那么边长为0.1的小正方形，就相当于把“1”（大正方形）平均分成了100份，其中1份就是0.01，非常直观的理解了算理，为小数乘法中“两个计数单位相乘作为新的计数单位”，弥补了重要的基础知识。
二、借助几何直观，构建乘法算理模型
乘法运算的一致性体现为两个计数单位相乘作为新的计数单位，两个计数单位上的数字相乘得到新计数单位的个数。对于小学生而言，这样的表述比较抽象和形式化，教学中又应该如何处理呢？
1.旧知新探，丰富算法。徐彬老师设计了任务一：探究0.2×0.3（如下图）。
学生呈现了三种方法，有的根据积的变化规律和小数点移动的规律，转化成整数乘法进行计算。有的学生看作具体数量，通过单位化聚变成整数运算，如0.2m=2dm，0.3m=3dm，2×3=6dm2=0.06m2。还有的结合正方形图，表示出长0.3米，宽0.2米的长方形，先分析其中1小格表示0.01，有2×3=6格，得到有6个0.01，所以0.2×0.3=0.06。通过第三种方法的交流，打开了学生分析乘法运算算理新的视角，突出了关于计数单位个数的理解。
2.迁移应用，强化算理。在两个一位小数相乘的基础上，自然改编为0.2×0.03，引导学生想象“可以是一幅怎样的图”，结合几何直观分析算理：其中1小格就是相当于把“1”平均分成1000份，每小格就是0.001，有这样的6格，就是6个0.001，从而得到0.2×0.03=0.006。
3.链接整数乘法，构建算理模型。
随着小数乘法算理的理解，及时关联课始的整数乘法，引导观察算式与对应的图形，发现这些乘法运算的共同点：（1）都计算了2×3=6，表示一共的格子数；（2）都用1格表示计数单位；（3）一共都有6个新的计数单位。交流中徐老师随机追问，如20×30=600中，100在哪里？“6个”是怎么来的等等，让学生进一步理解新计数单位的产生过程，它与两个乘数的计数单位有什么关系，初步构建了乘法运算的算理模型。
三、沟联多种运算，体会算理的一致性
运算一致性的终极表现是无论整数、小数还是分数，它们进行加减乘除运算，其本质都是探索计数单位的个数。为了实现这一目标，徐老师设计了任务三：计算0.3+0.4和0.3×0.4，鼓励学生用画图的方式表示计算过程，并比较两种运算的相同点和不同点。随后又补充20+30、0.3-0.2等算式，比较完整地呈现已学的运算类型，其目的是梳理加减运算的一致性：相同计数单位上的数字相加减，计数单位不变。乘法运算的一致性：两个计数单位相乘作为新的计数单位，两个计数单位上的数字相乘得到新计数单位的个数。但最终的目标是“异中求同”，引导学生体会，无论是加减法，还是乘法运算，都是探求有多少个计数单位的本质。
回顾整节课的教学，可谓是环环相扣，步步为营。随着徐老师大气又细腻的教学引领，学生不仅理解了运算一致性的本质，更重要的是形成了运算学习的研究视角，即怎么算、为什么这么算、有怎样的关联。特别是善于联系沟通的意识，对学生未来的学习和生活都具有方法论的意义。
写在最后的话：关于运算的一致性，一方面不能用力过猛，避免在计算起始教学就强调计数单位的个数，因为学生尚未具备相关的基础知识。另一方面也不能追求一步到位，选择在某个节点简单粗暴的实现一致性，否则只会是囫囵吞枣。人教社编辑刘福林老师提出了关于运算一致性的实现路径：分类施策、分步推进、逐级提升、达到一致。这样的路径是否可行，具体如何实施，都有待我们做进一步的尝试与探索。
数学不“烦”人
——李培芳老师《除法与分数》一课的启示
张良朋 | 淄博师范高等专科学校教授
笔者经常到小学去听课，和小学生聊天时，经常听到数学很麻烦、真烦人的说法。是什么原因造成数学人缘不佳的？数学真的很“烦”人吗？李培芳老师执教的《除法与分数》一课散发着温情和智慧的光彩，让我禁不住感叹：数学真的不“烦”人！
一、在温和、有趣的情境中，感受数学之“烦”
“我要吐槽：加减乘除，谁最烦？”李老师设置的课前谈话很贴心，引发了学生的内心共鸣。大部分学生认为除法最烦，特别是遇到除不尽的情况。但很多问题都要用除法解决，没它也不行啊！吐槽归吐槽，直面烦心事才有可能解决。李老师推出了“20秒限时挑战赛”（如下图），比赛设计得很有趣味，简约而不简单，前两道能除尽尚可应对，第三题开始除不尽的情况一出现，除法最“烦”人的一面又来了！
学生已有认知基础的局限使得除法除不尽时怎么求商几乎成为一个“不可能完成的任务”，这种认知冲突和有三个同学“20秒内已经能完成极限挑战”的身边榜样让其他学生对本节课的学习产生了一种期待，激发了学生主动探究新知的内在动机。
二、在温润、递进的探究中，化解数学之“烦”
李老师没有设置繁杂的情境，而是引导学生从最简单的问题入手，用一道一道结构相同的简短题目串接整个探究活动。
在第一个大台阶，课件依次出示下列各题，让学生思考结果，再用数学的方式记录下来。
（1）把6张饼平均分给3个人，每人分得（ ）张饼。
（2）把1张饼平均分给3个人，每人分得（ ）张饼。
（3）把1张饼平均分给4个人，每人分得（ ）张饼。
（4）把1张饼平均分给99个人，每人分得（ ）张饼。
（5）把 1 张饼平均分给（ ）个人，每人分得（ ）张饼。
第一题是知识基础，也是方法基础。除法是以“平均分”为基础知识和本质属性的，利用“平均分”很容易得出6÷3=2（张）。第二题是重要思维台阶。1÷3得多少，就会引出0.333…和1/3两种答案，通过比较，学生容易认可分数1/3表示商优点比较多（比如写得快，好理解，还准确）。1÷4是1÷3的自然延伸。1÷99的出现看似突然，其实是一种别具匠心的设计，既是对前面刚刚习得方法的巩固和检验，更是“迫使”学生“跳一跳，摘果子”，冲破直观操作的围栏，利用想象的力量去确认结果的合理性并向抽象的数学本质去靠近。“给你自由”的第五题，让学生成为出题人，给了学生广阔的思考空间，对为什么你要平均分给41人的追问流露出了数学温润善意的一面，1÷x=1/x一般性表达方式的隆重出场，展现了一种水到渠成的高级感，极具思维的层次感和张力。学生逐步积累起了迈上第二个大台阶的力量。
在第二个大台阶，依然是沿用一道结构相同的简短题目，但被除数的变化大大增加了问题的复杂性。3÷4=（ ），学生的答案多种多样，争议不少。靠谱的办法还是回归到直观操作验证。一张一张地均分再合起来（确认每个人都分到3个1/4张），或是3张一起均分（老师的演示“神器”出场效果明显），交流想法、引发质疑、操作验证、深度思考，不停留于形式上数字的简单搬家，引导学生真正弄清楚分数和除法的内在关联。再以此类推：把（ ）张饼平均分给（ ）个人，每人分得（ ）张饼。层层铺垫，逐层递进，由具体到抽象，由个别到一般，学生在“变与不变”中以分数单位为抓手深度把握除法和分数的内在联系。在李老师温润妥帖的引导下，学生扎扎实实迈好思维发展的每一步，不是平地行走，而是拾级而上，数学的眼光和推理水平变得越来越好。
三、在温暖、成功的练习中，悦纳数学之“烦”
“20秒能算完吗”——呼应课开始的“20秒限时挑战”，学生对419÷317这样的特殊题目也能轻而易举写出答案，真实体验了一把运用学到的分数和除法的关系轻松获得解题成功的愉悦感。学生成功了！除法还“烦”吗？除法变可爱了呀！把“烦”变“不烦”，依靠的正是数学知识、数学思维的力量！让学生获得学习成功，是最有效的化“烦”神器，也是最温暖、最有效的学习回馈。
行乎当行，止乎当止。愿我们的数学课堂在温和、有趣的情境中，在温润、递进的探究中，在温暖、成功的练习中，引领我们的学生收获数学学习的“好玩、温暖、成功”。你我皆凡人，数学不“烦”人。
来源：千课万人
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