结构有限元的基本原理（一）
文摘
科技
2024-04-27 09:00
吉林
目前，随着人工智能等新型方向的迅速发展，我们已经进入了科学技术高速发展的阶段，但是所有产品的底层核心还是固体的力学问题，解决这个问题的主要方法就是有限元法。结构有限元法有严格的数学理论支撑，并且具有编程方便，支持高性能计算等特点，自从商用软件推出以来，在工程中得到了广泛的应力，并且随着软件的人机交互界面使用更加方便，极大的降低了软件的使用门槛加速了软件的普及使用速度，但是如果要想用软件解决实际问题，则面临的困难和挑战依然严峻。目前，市场上的有限元理论图书或软件操作的视频资料非常多，对于入门能够满足要求，但是对于解决实际问题依然有很大差距，为了将软件的使用与理论结合，本公众号会定期推出相关的原创文章与大家分享交流。
今天主要谈一谈结构有限元的控制方程中的各项参数的意义。
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对于结构有限元通用的方程，如上式所示，该方程由质量矩阵[M]，阻尼矩阵[C]，刚度矩阵[K]，载荷矩阵[F]和节点位移矩阵｛u｝，该控制方程对于和时间相关的瞬态问题，为二阶微分方程组，如果是稳态问题，则为代数方程组，当然最后无论是瞬态还是稳态，都会转换为代数方程组进行求解，该控制方程的基本未知量为节点变形｛u｝，注意这个节点变形包括弹性变形和空间的刚体位移。我们看到的节点应变和节点应力，都是通过节点变形间接获得的参数，这个过程还会涉及到单元高斯积分点数据到节点数据的转换方法，关于这个过程，将在后续的文章里再进行详细说明。
节点变形和节点应变之间的基本关系是梯度的关系，即变形形梯度大的地方，应变就会大，则一般情况该位置的应力也会大，这也是用户关注的位置。这个梯度关系，对于不同的问题，具体的计算公式不同，如果是小变形问题，则相对简单一些，即（三个方向正应边和三个方向剪切应变）![]()
联系应变和应力的方程，一般称之为应力-应变关系或本构方程，最简单的就是各向同性的线弹性本构方程：
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通过以上简单的关系，可以解释结构中存在应力集中的位置，为什么发生在几何截面的变化位置，因为这个位置变形梯度大，因此应力就会偏大。
今天先和大家聊到这，如果大家对结构有限元的相关理论比较感兴趣，可以关注本公众号，后面会定期进行更新，如果需要交流有限元计算的技术问题，可以扫码入群，
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