Stochastic Dynamical Structure (SDS) of Nonequilibrium
Processes in the Absence of Detailed Balance. II:
construction of SDS with nonlinear force and multiplicative noise
缺乏详细平衡的非平衡过程的随机动力学结构。二:非线性力和乘性噪声下SDS的构造
https://arxiv.org/pdf/0803.4356.pdf ；
摘要
一整套随机微分方程可以很好地描述非平衡行为中的各种新兴现象。受到对现代生物学中噬菌体lambda遗传开关的稳健性和稳定性研究的启发，我们发现存在一种通用的非平衡过程分类：在随机微分方程的连续描述中，存在四个动态元素：势能函数φ、摩擦矩阵S、反对称矩阵T和噪声。T准确地表示了缺乏详细平衡的一般特征。对于固定点附近的动态，无论其是否稳定，随机动力学都是线性的。我们已经进行了相当完整的分析（Kwon, Ao, Thouless, cond-mat/0506280; PNAS, 102 (2005) 13029），称为SDS I。
一个重要且持续存在的问题是，是否存在具有非线性力和乘性噪声的势能函数，同时具有良好的局部动态和全局稳态特性。在此，我们展示了随机微分方程内置的动态结构，使我们能够构建这样一个全局优化势能函数。首先，我们提供了构建方法，其中一个最重要的成分是广义爱因斯坦关系。然后我们提出了一个近似方案：梯度展开，它将每个阶都转换为线性矩阵方程。
这种方法与已知的其他随机处理方法的一致性将在下一篇论文SDS III中讨论；与统计力学和热力学的明确联系将在即将发表的论文SDS IV中讨论。（主要结果已发表。请引用本文为“随机微分方程中的势能：新构建，P. Ao, J. Phys. A37 L25-L30 (2004)。http://www.iop.org/EJ/abstract/0305-4470/37/3/L01/）
让我们考虑一个n组件网络，其动态由一组随机微分方程1描述:
矩阵的迹等于力的散度：。这三个特征的结合阻止了对哈密顿动力学洞见的直接应用，并且一直是阻碍势函数构建的主要障碍。事实上，动力学的不对称性被认为是远离热平衡状态的网络的标志，并被宣称它使得通常在热平衡附近的理论方法不可行。本论文的目标是报告我们已经发现了一种新的构建方法，能够处理这些动力学特征并为我们提供一个势函数。
我们声明，下面将给出明确的构建，存在一个唯一的分解，使得方程 (1) 可以重新写成以下形式：
从方程 (1) 到 (4) 的分解可以称为
暗示着从力f到状态空间中每一点的势φ的梯度的“旋转”。我们去掉了下标t，对于随机力，我们有:
这显示了随机力之间的相同“旋转”。这里我们也放下了状态变量的下标t。使用Eq。(2)和(5)，等式。(7)暗示
这暗示了情商和智商之间的二元性。(1)和(4):大的摩擦矩阵意味着小的扩散矩阵。它是爱因斯坦关系12对有限横向矩阵a的推广。
接下来我们引入一个辅助矩阵函数
其给出n(n1)/2个条件来确定n×n辅助矩阵g。(8)，导致下面的等式
其中，分配函数。这是状态变量的玻尔兹曼-吉布斯分布，最好地展示了势能函数 \(\phi\) 的实用性。我们要注意的是，如果存在稳态分布，那么稳态分布应该由方程 (14) 给出，这并不是显而易见的。接下来，我们将启发式地证明方程 (14) 确实是网络的正确稳态分布，是对应的福克-普朗克方程的稳态解。
标准随机微分方程（方程 (1)）与福克-普朗克方程之间的联系在一般非线性情况下必然是模糊的，正如伊藤-斯特拉托诺维奇困境所示。我们将这种缺乏确定性归因于连接的渐近性质，在这种情况下，必须明确定义一个过程：不同的过程通常会导致不同的结果。在这里，我们提出另一种可能从理论物理角度来看是自然的过程。我们的出发点将是方程 (4)，而不是大多数先前推导所从开始的方程 (1)。
方程 (4) 中同时存在确定性力和随机力表明网络中存在两个明显分离的时间尺度：用于描述随机力的微观时间尺度和用于网络运动的宏观时间尺度。前者的时间尺度远远小于后者。这种时间尺度的分离进一步暗示着网络的宏观运动具有惯性：它无法立即对微观运动做出响应。为了捕捉这一特征，我们引入了一个小惯性“质量” m 和网络的动量矢量 p。网络的动力学方程现在采取如下形式：
这是方程 (4) 的扩展。我们注意到，在动量动力学方程中，摩擦矩阵和随机力不依赖于动量，因此在随机微分方程与分布函数动力学方程之间的联系中不存在伊藤-斯特拉托诺维奇困境。在这个扩展的状态空间中，福克-普朗克方程被称为克莱因-克拉默方程，可以立即得到：
其中，是分配函数。在方程 (18) 中，状态变量和其动量之间存在明确的分离。零“质量”极限可以在不影响状态变量分布的情况下进行。这证实了方程 (14) 是在这种过程下从方程 (4) 预期的玻尔兹曼-吉布斯分布的正确选择。
总之，我们指出了本文构建势能与文献中的一些构建（如 Graham-Haken 构建）之间的一个主要区别：本文的构建基于随机微分方程中的内置结构。没有明确使用福克-普朗克方程。因此，在构建 Graham-Haken 构建中假设时间趋于无穷时分布函数的假设是不需要的。特别地，本文中的势能可以是时间相关的。
