分数傅里叶变换
我们看下维基百科（Wikipedia）中对于分数傅里叶变换（fractional Fourier transform，FRFT）的描述：![]()
我们概括以下结论：
[1] 分数傅里叶变换是傅里叶变换的推广;
[2] 它可以将函数转换成时间和频率之间的任何中间域；
那么如何去理解这些描述？理解数学的第一步是从解析表达式入手。傅里叶变换的解析表达式为：
而分数傅里叶变换的解析表达式为：
这里面有两个三个函数，我们回忆下：
当角度 , 也就是 时， , 。带入分数傅里叶变换的表达式，可以看到，分数傅里叶变换直接退化成了傅里叶变换。可以说，傅里叶变换只是分数傅里叶变换的一种特例。换句话说，分数傅里叶变换是傅里叶变换的推广。重新审视傅里叶变换
如何理解第二句话，“它可以将函数转换成时间和频率之间的任何中间域。”我们要重新审视下傅里叶变换，从数值的角度理解什么是傅里叶变换。![]()
从图 ①可知，傅里叶变换相位矩阵的第一行和实域函数点乘以后，得到频域函数的第一个数值，第二行和实域点乘以后，得到频域函数的第二个值 此时矩阵的第一行向量为，
旋转一下角度
如果我们将这个乘法旋转一个角度 ,如图②所示，按照图示重新分配采样点（分配的目的是得出好的性质）。![]()
这时候斜着的相位向量从 (这里将f换个标记写成)变成了所以这个基是和傅里叶变换一样是正交单位基向量，即是当 时，向量点积为1（常数），否则为0。连续两次变换
对这个变换的结果再进行一次变换，即是
合并图②和图③可以得到
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按照矩阵的乘法，左边矩阵的行乘以右边矩阵的列对应于
此时涉及到一个著名的积分:高斯积分
利用该公式可以得到
化简可得
所以可以看到，分数傅里叶变换变换具有连乘的性质，对一个函数进行连续操作 的操作相当于 一次 的操作，一方面我们将一个复杂的运算变成了加法运算，另一方面，也说明分数傅里叶变换相对于傅里叶变换，相当于是一个累加的中间过程，所以它可以将函数转换成时间和频率之间的任何中间域。附录 三角函数
