站在代数与几何的交界处

教育 2024-12-07 22:35 北京

乌鸦少年｜撰文

许晨阳称自己是那种“典型的数学家”，他不使用软件，只使用纸笔、粉笔和黑板。当你路过他的办公室时，可能只会看到他踱来踱去，陷入沉思。

穿过校园去买一杯咖啡，或者从公寓走到办公室，这样的散步是他思考过程中必不可少的一部分。最近刚获得麻省理工学院（MIT）数学系终身教授席位的许晨阳说：“我思考数学的方式是在头脑中产生很多图像。如果需要一张更清晰的图像，我可能会画一些东西，做一些计算。当我散步时，就会思考这些图像。”这样的散步有时会把他带到同事的办公室。“这里有那么多优秀的头脑，我经常会跟系里的同事们交流。”

一在代数与几何的交叉处

许晨阳的研究方向是代数几何。代数几何是两种数学分支的融合，一端是代数——关于方程的研究，另一端是几何——关于形状的研究。代数几何所做的就是将抽象的代数中解决问题的方法应用到几何中复杂而具体的形状、曲面、空间和曲线。许晨阳曾经这样解释：“代数几何是我们想用代数的方法来看几何，拿这个工具来交换几何的灵魂。”

代数几何的基本问题是对一组多项式方程的解集进行分类，简单说来就是对空间进行分类。其研究的基本对象名为代数簇（algebraic variety），也就是多项式方程组的解集的几何表示。线性方程 y= x+2 在坐标平面上表示的直线，方程 x²+y²=1 表示的圆，以及 x²+y²+z²=1 表示的三维空间中的球面都是代数簇的例子。但是代数簇可以复杂得多，甚至还可以存在于更高的维度。

而双有理几何（Birational geometry）就是通过变换代数簇对其进行分类的一种方法。这个变换的过程就像是割补：从一个有着独特形式的代数簇开始，切掉它凹凸不平的地方，让一些褶皱变得平滑，最终得到一种更普遍的形状。经过一番割补，许多最初截然不同的代数簇将变得相同，这时候，我们说它们属于同样的双有理等价类（birational equivalence class）。

数学家蒂莫西·高尔斯（Sir William Timothy Gowers）曾用更加形象的语言描述了代数几何在天文学中的作用：

“尽管人们现在已经接受时空是弯曲的，但也有可能正像地球表面的山峦和谷地一样，我们所观测到的曲率只不过是某个更为庞大、更为对称的形状上的小摄动。天文学中一个重大的未决问题就是去确定宇宙的大尺度形状，即将恒星、黑洞等造成的弯曲熨平后宇宙的形状。它是仍然像大球面一样是弯曲的呢，还是像我们自然而然却很可能错误地想象的那样，是平坦的呢？”

通过散步以及与同事们的交谈，许晨阳专注于用双有理几何的方法，在高维空间为这些代数簇分类。许晨阳说：“我喜欢和这个研究领域内的其他数学家交谈。我们讨论一会儿，然后回去独自思考，遇到新的困难，再继续讨论。所以我的大多数论文基本上都是合作的成果。”

这样的合作帮助许晨阳将研究引向了一个新的方向，从而发展出法诺簇（Fano variety）的k-稳定性这一新理论。法诺簇是三种双有理等价类中的一种。k-稳定性则被许晨阳描述为是“为微分几何研究而发明的一种代数定义”。八年前，他将一部分精力投入于k-稳定性的研究，试图用代数几何的工具，发展出一套基于k-稳定性的代数理论。之后经过几年的间隔，由于与合作者普渡大学数学教授李驰的一番对话，他才终于回归了这个题目。

李驰有更多的微分几何背景，他将其中的概念转移到了代数几何当中。这时候许晨阳意识到，k-稳定性是一个很重要的研究题目。自此之后，他们做出了比四五年前预期的更多的工作。2014年，两人共同发表了一篇关于“法诺簇的k-稳定性”的论文，引用次数颇高，在双有理代数几何领域提出了一个全新的理论。这项工作展示了许晨阳研究数学的方式：在解决具体问题之前，先发展新理论。

许晨阳说：“在我所在的领域，有些问题已经存在了40年，大家都在努力试图解决。这些问题也留在我的脑袋里。我做数学的方式是跟着理论，不是依靠技术去解决一个问题，而是首先发展理论。然后我们就会用一种全新的眼光看见新的东西。每当找到一套新理论，我都会用旧的经典问题来检验它是否有效。”

二数学很美，也很深奥

许晨阳在四川成都附近长大，从小就喜欢数学。“我参加了一些数学奥林匹克竞赛，成绩还不错，但不是金牌得主。”他笑着说道。不过他无疑具有足够的天赋，并且在北京大学获得了学士和硕士学位。

进入大学后，许晨阳开始学习更高阶的数学，他发现数学很美，也很深奥。“对我而言，数学的很大一部分是艺术而非科学。”在北京大学学习的最后阶段，他越来越多地专注于代数几何。一方面，他非常喜欢几何，想要做一些与几何相关的课题。另一方面，他发现自己很擅长代数的技巧和方法。因此，用代数的方法来学习几何非常适合他。

从北京大学毕业之后，许晨阳来到普林斯顿大学攻读博士学位，他的导师 János Kollár 是一位杰出的代数几何学家，对他产生了巨大的影响。“当然，我从他身上学到了很多方法，但更多的是我称之为‘审美’的那些东西：数学中什么问题是重要的？“他继续解释说，一般而言，处于职业生涯早期阶段的研究生和博士后需要一些可以学习的榜样。做数学是很复杂的事情，在一些节点上他们需要做出选择，这需要权衡一个特定问题的难易程度或有趣程度，需要对其可操作性有更多实际的考量。

除了导师Kollár的指导，来到美国这样一个全新的环境也促进了他的研究。许晨阳回忆道：“在那之前，我从来没有离开过中国，所以经历了一些文化冲击。那时侯我还不太了解美国文化，不过这在某种程度上让我更加专注于自己的工作。”

在2008年获得博士学位后，许晨阳在麻省理工学院做了三年的博士后和C.L.E. 摩尔讲师（C.L.E. Moore Instructor），之后在北京国际数学研究中心担任了六年的教授，并于2018年回到麻省理工学院担任数学教授。在这些年的经历中，许晨阳展现出了对于寻找重要问题的天赋，成为了所在领域的领军人物，并在代数双有理几何领域取得了一系列重大进展。

2017年，许晨阳凭借在双有理几何领域的基础性贡献，获得“未来科学大奖”的首个数学与计算机科学奖。双有理几何领域的一些实际应用包括编码和机器人技术。例如，通过将一系列二维图像组合成视野中的类似场景，双有理几何技术被用来帮助机器人在三维空间中导航，从而让机器人能够“看见” 我们的三维世界。

由于对极小模型纲领（Minimal Model Program）的推进，并将其应用于代数簇，许晨阳获得了2019年新视野奖，以表彰他在数学领域的早期职业成就。极小模型纲领是双有理几何领域的关键理论，于上世纪80年代初首次提出，其基本思想是通过在每一个双有理等价类中寻找一个尽可能简单的代数簇，来简化对代数簇的双有理分类，通俗来说就是将相似的形状归为同一类，从而简化问题。许晨阳证明了一系列与极小模型纲领有关的猜想，将其扩展到之前从未测试过的某些情况的变体。

他发展的代数k-稳定性理论被证明是孕育新发现的沃土。许晨阳表示：“我仍然在研究这个课题，对我来说，这是一个特别有趣的问题。”他在证明植根于极小模型纲领的k-稳定性相关的其他关键猜想方面已经取得了进展。最近，在先前工作的基础上，他证明了法诺代数簇的模空间的存在性。现在他正在努力为这个模空间的紧致性寻找一个解决方案。

许晨阳说：“这对于解决这个问题非常重要。我希望我们能够解决问题的最后一部分，我很确定，那将会是我所做过的最好的工作。”

参考资料

[1] http://news.mit.edu/2020/chenyang-xu-professor-mathematics-0209

[2] https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/2018/birkar-final.pdf

[3] https://www.quantamagazine.org/caucher-birkar-who-fled-war-and-found-asylum-wins-fields-medal-20180801/

[4] https://www.thepaper.cn/newsDetail_forward_1852889

[5] 数学家许晨阳：越纯粹，越美妙，越自由. 《人物》杂志（2018）

[6] 关于“法诺簇的k-稳定性”的论文：http://dx.doi.org/10.4007/annals.2014.180.1.4

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