1 引言
近年来，光学自由曲面在学术界被炒的火热，很多光学系统中都报道了自由曲面的应用。然而，到底什么是自由曲面，它的优点是什么，可能很多人还不清楚。随着自由曲面的应用逐渐普及，我们有必要对它有一个较为客观的认识，从而在工作中做到备无患。在本篇中，我们将对光学自由曲面的概念和常用的曲面类型做通俗的介绍，来让大家对这一概念有一些基本的认识。
2 光学自由曲面的定义
首先从常见的光学表面说起，常见的光学表面，包括平面、球面、旋转对称的非球面和柱面等，这类表面都不属于自由曲面的范畴。按照自由曲面的定义，自由曲面是指不具有轴旋转对称或平移对称约束的光学曲面，如此以来，自由曲面的一大特点就是不对称，不以某个旋转轴旋转对称，也不以某个截面对称。![]()
自由曲面最早应用在照明领域，随着单点金刚石车削工艺的发展，人们可以制造出各类曲面的模具出来，有了模具，就可以通过模压或者注塑的工艺，生产出满足要求的光学曲面。与传统的元件相比，自由曲面有更多的参数自由度，因此可以实现更紧凑的空间、更大的光学视场和更少的系统重量，对于光学系统的功能扩展起到了促进作用。在光学成像领域，自由曲面在天文观测和空间光学系统中有较多的应用，在一些手机镜头中，也加入了自由曲面的元件，以达到矫正像差的效果。
3 光学自由曲面的常见类型
用于光学成像的自由曲面，通常并不是毫无规律的曲面，而是有方程和参数去定义和描述的，在本节中，我们介绍实际中常见的光学自由曲面的类型。
A、离轴非球面
按照自由曲面的定义，从旋转对称的非球面上，偏轴切下来的一块非球面，即我们通常所说的离轴非球面，就属于自由曲面的范畴。离轴非球面的形状可以是圆形的，也可以是方形的。
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离轴非球面，是在原来非球面方程的基础上，多了一个离轴量或离轴角的指标，它可以通过数控研磨和抛光的方式做加工。
B、复曲面（TORUS）
复曲面又称为轮胎面，它的形状就像是从汽车轮胎上取下的一块区域一样，在X和Y两个方向上都是曲面，在两个相互垂直的截面上，有两个不同的曲率半径值。在光学系统中，复曲面具有独特的用途，如作为变形系统中的变形光学元件，或者红外热像仪中的扫描元件等，在极紫外光谱仪中，复曲面作为前置镜，可以收集到更大的光通量，一个复曲面的形状如下图所示：设定曲面在水平X方向的曲率半径为Rx，二次系数为Kx，在水平Y方向的曲率半径为Ry，二次系数为Ky，则复曲面的表达式可表示为：
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C、XY 多项式自由曲面
XY多项式通常是在非球面的基础上，增加x和y的多项式方程而得到的曲面，多项式方程的形式可以是任意的，包括线性、二次、三次以及更高阶的多项式。这种曲面的方程通常多个参数来控制，通过改变参数的取值可以得到不同形状的曲面。D、Zernike多项式自由曲面
我们在前面的文章中，详细介绍过Zernike 多项式的概念(光学元件的面形误差（二） Zernike与Chebyshev多项式分解)，Zernike多项式的基函数在单位圆域内是连续正交完备的，它的各项与光学检测中的像差形式对应，并且正交性的存在使得各种像差系数的大小与拟合使用的项数无关，以上性能使得它是自由曲面较为理想的表述方式，被广泛地应用于成像光学设计中。 以二次曲面上叠加 Zernike 多项式得到的口径为 D 的自由曲面，其矢高表达式如下：![]()
式中，第一项为二次曲面部分，k 为圆锥常数，c为曲率，r为x和y的平方和之根，第二项为Zernike多项式部分，Ai为Zernike多项式系数 ，Zi为Zernike多项式 ，ρ为归一化半径，即 r/(D/2)，φ 为幅角。Q 多项式自由曲面是由美国 QED 公司的 Forbes提出的一种自由曲面,它是从 Forbes提出的旋转对称 Q 多项式曲面发展而来。它的面形系数可以直接用来表征曲面相对于最佳拟合球面的矢高偏差梯度,可以用于自由曲面的公差分析,使光学设计和加工检测难度的评价可以同时进行,从而避免了设计后再进行加工评价的繁琐过程。Q多项式的表达式如下：![]()
F、非均匀有理B样条自由曲面(Non-Uniform Rational B-Splines, NURBS)
NURBS曲面通过控制顶点网络、基函数以及各点的权重来描述曲面,是一种参数化的描述曲面方式。它是国际标准化组织颁布的工业产品的数据交换标准 STEP中,定义工业产品几何形状的唯一数学方法。调节 NURBS的每一个控制点或者其权重只影响该点附近的面形，因而NURBS也是一种局部面型可控的自由曲面。该种曲面的表达式较复杂，如下式所示：![]()
NURBS的性质优良,在照明领域已有成功的应用。但是其变量数太多使得其光线追迹极为复杂，追迹时间长、难以优化，目前在成像领域中的应用较少。4 结语
在本文中，我们对光学自由曲面的定义和常见的类型做了介绍，自由曲面是不具有轴旋转对称或平移对称约束的光学曲面，因此无法用传统的平、球面加工方法来加工，但由于它可以具备更多的设计自由度，因此在对光学系统的尺寸和非成像性能要求越来越高的场合得到了较多的应用。文中介绍了光学自由曲面的常见类型，包括离轴非球面、复曲面、XY 多项式自由曲面、Zernike多项式自由曲面、Q 多项式自由曲面和NURBS自由曲面等，以使得大家对这些自由曲面的表达式有初步的了解。
