当然，其中的关键在于个人，就象我，今天才搞明白了一些本应从小就应该主动获取的知识。惟希望在座的别笑话我！正缘于此，这些天我稍微发奋了一些，还乘势了解了：俄罗斯国土跨跃从东 2 至东 12 时区，覆盖了 11 个时区，全国以莫斯克时间为标准时间，各地作息时间按本地所在时区进行。
美国，其本土横跨西五区至西八区，共 4 个时区，每个时区对应
一个标准时间，从东向西分别为东部时间、中部时间、山地时间、太平洋时间、阿拉斯加时间、夏威夷时间（西十区）。美国时间指美国本土时间，横跨 4 个时区，美国夏令时间比正常时间早一个小时。加拿大有 6 个时区，东部时间、太平洋时间、大西洋时间、山地时间、中部时间、纽芬兰时间，比中国晚 12 个小时。总之，整个地球表面是以“东早西晚”规律按时区依序各递减一小时。行啦！这么简单的一件涉及文化艺术、生活起居、国家意志的时间和空间问题，居然包含这么丰富的情况，作为 72 岁的老年人感觉自己真是糊涂了一辈子，现在才明白了那么一点相关知识或道理，不怪别人，只怪从小不求慎解、没养成“做学问、刨根问底”的习惯，
惭愧！惭愧！
实际上这类情况有很多，很平常，即便是数学教师也有可能对一些最基本的知识从头糊涂到尾，谈不上有学问，更不会有趣。以数学中最简单、最常见的数字“1”来说，不要说学生，即便是数学教师、教材或课标的编写者也难免有认识上的糊涂之处，这往往体现在教学或教研上。许多人没有意识到小学一年级学习的数字1，与中年级时接触的数字 1，及至初中阶段乃至大学一年级认识的 1，就有着意义上的乃至定义上的区别。而体现在 1 上的共性实际上只有一个，那就是假设性，假设 1 存在。准确说，1 并不是客观存在，他同国际日期变更线一样，是一种假设性存在。从匹阿诺自然数公理可以获知，1 的本质是“开端”，名曰“首元素”。理解这一点需要先懂得集合或集合论知识。你可能会说现在小学阶段不就学习了集合知识吗。说实话，小学课本安排集合这个数学词完全没有必要！是编写者对上述知识的误解所致。集合概念的作用就在于能够严格表达各种数学概念的含义，而这种严格性在小学甚至初中阶段几乎是没有必要的。因此也就没有必要加重小学生的学习负担。
1 被定义为一个（有序）集合的首元素。如果把这个集合的元素从左到右横排列（因为这个集合是离散的，所以可以办到），1 排首，他的左边没有其他元素，但他的右边存在元素，叫后继元素；1 的后继称作 2（称 tu 也行），1 也可读作“万”音（称呼不反映本质）。不难看出 1 有个重要的性质，他没有“左邻”，而只有“右舍”，而以他为首接排下去的元素，例如èr（2）都有左邻右舍，既有前继又有后继。这是自然数集合中的元素的重要性质。1 被做为数数之始，而这仅是个方便认知和研究的假设，与集合存在这个假设一样，是极其重要的假设。但教材却偏偏因此人为制造“万事开头难”的情况。在小学现行的教材中规定有个比 1 还小的自然数（亦称整数），叫做零呈鸭蛋形状，中文汉字有个特殊的字，就是这个零，写成 O。小学课本中这样做会带来不方便！大家都知道，无论多少个 0 相加，所得结果都是 0，这是零的一个重要性质，有好处！但将其放在自然数集合里就有问题了。自然数集合的性质是由“自然数公理”（匹亚诺公理）描述的。有中有一条公理叫“归纳公理”，这条公理说，若“1”是集合的首元素，假设 M 属于这个集合，则 M+1 也属于这个集合，属于这个集合的元素可称为自然数。这是个揭示了数学中的一种重要的思想方法的公理。不难想到，数学归纳法中的首元素若怎么自相加都是自己，象 0 那样，那么归纳法还能够成立吗？就会产生“若没有”或“空”成立，则 M+0 成立，这相当于在不断重复假设，没有任何意义。本应从小就该渗透的归纳的思想方法。例如：例 1、例 2、例 3、……；
定理 1、定理 2、定理 3、…，等等，“有一，必有二”的基本思想就不存在了。显然，在这个问题上，一些教师或专家教授没有想透。在包括了 1 的分数集合中，1 有左邻右舍吗，很容易证明无法确定，也就是 1 没有紧邻元素，这是有理数集合的性质，与自然数集合的离散性不同，有理数具有稠密性。那么在包括了 1 的实数集合中，1 的存在性是如何确定的？学了数学分析就会知道，实数公理，例如柯西准则、戴德金分割，单调有界列必有极限等众多实数完备性定理就可以确定 1 同 、 一样都是实数集合的元素，都可以用无穷多个有理数的无穷序列的逼近来表达。若掌握了这些基本知识，在小学或中学数学教学中就不会说那些“深度的”外行话了。教材的事是大事，没经过想象，就别轻易说或做，研究透了再做才是负责任的态度。类似的例子还有很多。例如强调以培养数感、量感为数学教学的目的。而最基本的“假设为真”这一基本的数学思想方法却被无视，这值得反思！感觉层面的认识是认识之始，是认识概念的早期阶段。因为有了这个“感”字，你无论怎样定义，都会令人感到这是滞障于感性认识的水平。对此，应该好好学习毛主席的《实践论》。数学可以培养人的理性认识的能力，再具体点说是培养人的间接认识事物的能力。抽象的目的，就是为了掌握普遍适用的真理，用于形成面对各种眼前的、或眼睛看不到的、甚至无法接触到的客观世界的各种事物时，仍然能够透析对象的本质及规律的能力，而绝不仅是“眼见为实的能力”。数感 这个词是外来词，是从英文“数的意识”这个词翻译过来的。有可能是翻译者或传播者对原词认识不够而造成的误译。总之，作为一个教师，教学或教研的一个重要的思想出发点，应该是假设自己一无所知，并由此出发搞清楚所教知识的方方面面。这个教研态度或思想非常重要！
谢谢大家！
2024-10-18
来源：妙解之慧
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