考虑一根长度为 的均匀细棒，设细棒的一端（）保持恒定温度 ，另一端（）保持恒定温度 。初始时刻 ，细棒上任意位置 处的温度分布为 。 求解细棒在之后任意时刻 的温度分布 。
方程及边界条件：
热传导方程（抛物型二阶偏微分方程）：
其中， 是热传导系数。
边界条件：
初始条件：
解法：
分离变量法：
设解 可以表示为空间变量 和时间变量 的乘积形式：
代入热传导方程：
两边分别除以 ，得到：
其中 是分离变量常数。
求解时间部分 ：
解方程：
通解为：
其中 是任意常数。
求解空间部分 ：
解方程：
边界条件为 和 。
该方程的通解为：
利用边界条件 ，得 ，所以：
利用边界条件 ，得：
因此：
得到特征值：
相应的特征函数为：
写出通解：
通解为各个特征解的线性组合：
其中 是待定系数。
利用初始条件确定 ：
利用初始条件 ，有：
这实际上是 的傅里叶正弦级数展开式，其中：
最终解：
代入 ，得到最终解：
至此，得到了细棒在任意时刻 的温度分布 。
