在自然数的整体中，可以自由地进行+、×的运算。如：2+3，3×5，6000×7000，11122+3456等。它们计算的结果仍在自然数范围内，所以自然数的整体对于+、×来说是闭合的。如果只考虑+或×的运算时，只要自然数就够用，没有必要再考虑新的数。可是，如果要考虑+、×的逆运算-、÷的时候，自然数就不再闭合。因为任意取两个自然数作减法或除法，结果却不一定是自然数。例如：2-3、2÷3的结果就不是自然数。
这就说明自然数的范围太狭窄了，要想自由地进行减法或除法运算，就必须增加新的数，这就是分数和负数。这样就把数的范围扩大到了正的自然数、负的自然数及正的分数、负的分数，即有理数。这时，+、-、×、÷四则运算就可以自由地无限制地进行。换句话说有理数对于四则运算是闭合的。
19世纪的天才数学家伽罗瓦把对于四则运算闭合的数的集合叫做域。按照这种叫法，就可以说整个有理数的集合是域。当然，叫域的除了有理数之外还有许多，对我们来说最熟悉的首先就是有理数。
当数的世界扩展到有理数时，+、-、×、÷的计算虽然能自由地进行，但是还不具有连续性，如两条直角边为1的直角三角形的斜边长根号2，便可以很好的填充到有理数当中，所以有理数仍然不能表示直线上所有的点。填满这些空缺就需要无理数。有理数与无理数合起来就是实数。有了实数就可以表示直线上所有的点，这便是开方运算的结果。所以，实数集合既是对于+、-、×、÷运算闭合的一个域，同时还具有连续性。
到了这里，似乎可以认为数的世界的扩展可以暂时停止了。根据以往扩大数的世界的方法，在很多情况下它的契机都是逆运算。例如，由“×”的逆运算“÷”增加了新的分数；由“+”的逆运算“-”而产生了新的负数；由乘方的逆运算开方产生了新的无理数。
基于逆运算，如果我们对x这样一个实数进行+、-、×、÷四则运算时，可以得到下面式子：3x²-2x+5、x²+1、6x³/x²、…。只要x是实数，代入这些式子计算出的结果也是实数。
假设x²+1=y，如果从x推算出y值，这就是四则运算；如果从y推算出x值，这就是四则运算的逆运算，称为解代数方程。如y=5时，求得x=2。那么在实数的范围里，能不能像这样自由地进行解代数方程的运算呢？回答是否定的。
在四则运算x²+1=y中，要是反过来从y求x的话，就不是任何时候都能行得通的。如果y=0，可以求出实数x吗？显然，就不能在实数范围内找出与之对应的x，因为一个实数的平方决不会是负数。
因此，在实数的范围内，对于四则运算的逆运算“解代数方程”来说，不是闭合的。要想自由地解代数方程，就必须要打破实数的框框，导入新的数。这个新的数就是虚数，用i来表示，规定i ² = -1。这样就诞生了更广泛的数——复数：实数和虚数统称为复数。
回到小学数学，再去看分数、小数和负数，它们都是从自然数脱胎而生的，产婆就是减法或除法。减法与除法运算在自然数中不封闭，很自然的就要拓展、延伸，这是在学习这些新数时必须要说清楚的，因为这对于培养学生的创新意识会起到十分重要的作用。
