《美国数学月刊》面世130周年，我们何时有一份《中国数学月刊》？

教育 2024-12-06 23:20 北京

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曲高和寡，自古皆然。顶刊往往只发表前沿重大成果，囿于行业内的小圈子，难以被大众了解接受。甚至连菲尔兹奖得主、法国数学家让-皮埃尔·塞尔也抱怨：“在1949年我曾感到沮丧，因为每一期《数学年鉴》上都有一篇比以前更难懂的拓扑学文章。”

《美国数学月刊》与此不同。其面向大众，从大学生、高校教师，到专业数学家，都是它的拥趸。期刊风格浅白易明，同时不失学术严谨性，许多数学界有名有姓的大师都曾为其撰写文章。这份“非典型”学术期刊的成功实践也提醒我们：面向大众的数学普及，同样有助于提升前沿研究水平。也许现在初窥门径的无名读者，就是未来攀登高峰的数学大师。

撰文 | 丁玖（美国南密西西比大学数学系教授）、朱慧坚（玉林师范学院数学与统计学院副教授）

在国际数学界，有一份数学杂志，名叫《美国数学月刊》（The American Mathematical Monthly），简称《月刊》。它不像《数学年鉴》（Annals of Mathematics）等“国际四大数学名刊”那样立足前沿，面向少数“精英”，却在全球拥有从学生、教师、数学爱好者到专业数学家的最广大读者群体。今年恰好是它问世130周年，所以有必要写作此文纪念，或更恰切地说，庆祝一下。然而，仅仅做篇表面文章，“走过场”式地议论一番似乎不是难事，难的却是，对于这份“非典型”学术杂志的悠久历史和长期实践，我们究竟能从中学到点什么？

先从她的“娘家”说起。与中国只有一个全国性数学团体“中国数学会”不一样，美国有两家全国性的数学团体，分别是“美国数学会”（The American Mathematical Society， AMS）和“美国数学协会”（The Mathematical Association of America，MAA）。前者于1888年创立，总部位于罗德岛州的普罗维登斯市，与常春藤名校布朗大学同处一城；后者于1915年组建，立足于首都华盛顿哥伦比亚特区。美国数学协会是世界上最大的数学家、学生和数学爱好者团体，她的使命是“促进对数学的理解及其对我们的世界的影响”（一字不漏地翻译自协会主页）。《美国数学月刊》是她的四个女儿中的大姐，并且也是最美丽的那个，然而她却又是“后娘”领养过来的，或者更精确地说：后娘因为她而“出生”！这到底是怎么回事呢？现在我们就回溯一下《月刊》简史，以及她和美国数学协会的渊源。

《月刊》始创

1894年，美国密苏里州基德学院（Kidder Institute）的一名教师本杰明·芬克尔（Benjamin Finkel，1865-1947）有感于高中数学教学“非常糟糕”之现状，决定出版一本面向数学教师的期刊。于是，第一期《美国数学月刊》于1894年1月应运而生。芬克尔在发刊词中写道：

“我们现有的大多数期刊几乎只涉及普通数学学生、教师无法理解的课题，或者至少是他们不熟悉的课题，而且很少有篇幅（如果有的话）用于解疑释难。《美国数学月刊》在不忽视高等数学研究领域的同时，也将开设专栏，努力向普通数学爱好者普及数学科学的重要分支。编辑们将不遗余力，使它成为美国最有趣、最受欢迎的期刊。”

本杰明·芬克尔（1865-1947）

从1894年《月刊》问世到1902年的八年间，芬克尔和一名高中教师克洛（John M. Colaw，1860-1940）共同担任编辑。办刊八年，举步维艰，他怀抱梦想的初心部分失败了：很少有高中数学教师订阅这份杂志。然而，他的远见却获得了上世纪初美国数学界领袖之一、芝加哥大学穆尔（Eliakim H. Moore，1862-1932）教授等人的支持和帮助。《月刊》在大学数学教师中引起了强烈反响。顺便一说，穆尔在芝加哥大学带出的数学博士伯克霍夫（George David Birkhoff，1884-1944）是美国第一代本土成长的数学家中的最杰出者，穆尔生前指导过的最后一名博士生曾远荣（1903-1994）被认为是“中国泛函分析之父”，在国际上以算子“曾逆”著称，是南京大学数学系的一级教授。

进入20世纪，在美国现代数学发源地之一——芝加哥大学数学系，穆尔的好几位同事也积极响应问世已近十年的《月刊》，如迪克森（Leonard E. Dickson，1874-1954）和斯劳特（Herbert E. Slaught，1861-1937），前者是杨振宁父亲杨武之1928年完成的博士论文的指导老师。迎着新世纪的曙光，他们先后和芬克尔共同参与了《月刊》的编辑工作，迪克森作为正式的编辑从1903年工作到1906年，而斯劳特的编辑职务从1907年起持续十年，直到1917年为止，那时《月刊》创始人芬克尔基本上也淡出了期刊工作。

斯劳特（1861-1937）迪克森（1874-1954）

一般而论，数学家的使命有二：研究与教学，分别用来创造知识和传授知识。在中国，这两个使命的协调管理都落在中国数学会的肩上，所以中国数学会的工作很繁忙。而在美国，上述的两个国家级数学团体明确分工，各司其职：美国数学会致力于数学研究，美国数学协会的精力则主要放在数学教育上；同时它们互相配合，比如每年的元月共同主办美国数学年会（后来美国工业与应用数学会也加入其中）。这种彼此密切合作的分工非常合理，因为数学研究是成熟数学家当前的创造性活动，直接影响当代的科技进步，而数学教育的职能是训练出未来的成熟数学家，以期数学事业后继有人。为了数学事业造福人类千秋万代，为了数学家的涌现如波浪般滔滔不绝，研究与教学必须齐头并进，相辅相成，缺一不可，因此美国数学协会在美国数学会诞生27年后应运而生，担负起向新一代普及数学知识、挖掘数学人才的重任。

然而，这种认识对不少研究型数学家而言并不是“生而知之”的。事实上，上世纪第十三个年头结束之前，专司数学教育的美国数学协会还没有在母腹中孕育，那时美国数学会已经是长到24周岁的生气勃勃的小伙子了。在此期间，《月刊》一直面临财政困难，毕竟它是由个人创办和运营，缺乏背景支持，不像中国数学会，总有国家财政部的稳定财政拨款大力支持。

财务危机

作为尽责的编辑，斯劳特多年间一直致力于各方寻求资源，为提高编辑和印刷质量而费尽心思。在1909年的一封信中，斯劳特写道：

“我已说服伊利诺伊大学与芝加哥大学联合提供每年50美元的资助，并且米勒教授在那时加入行列，与我一起担任《月刊》的联合编辑和负责人。芬克尔教授仍负责出版业务并编辑问题栏目。”

可怜的50美元显然远远不够，资金难以为继，《月刊》站在了命运关口。米勒（George A. Miller，1863-1951）在伊利诺伊大学的同事埃德加·汤森（Edgar J. Townsend，1866-1955）提议，《月刊》可以“投靠”美国数学会。1912年5月17日，他写信给斯劳特：

（美国数学会）“很可能会答应出版对中学和小型学院的数学教师很有价值的数学论文，它将影响教学的方方面面，同时在这些我们赖以培养人才的学校中间激发数学兴趣。”

斯劳特在回信中透露，《月刊》资金已经山穷水尽，“我已不堪重负。我要么改变《月刊》的运作方式，要么就干脆放弃它。如果你提出的让学会接管《月刊》的计划能够实施，我将非常乐意转交全部责任，包括与期刊相关的所有编辑和业务关系。” 他认为，最好先改组《月刊》，再考虑美国数学会的接管事宜。

1912年11月6日，斯劳特怀着同样的绝望心情写信给芬克尔：“我已经下定决心，必须在年底之前让《月刊》脱胎换骨，否则就彻底收手不干。”

斯劳特兑现了自己的决心。在他的努力下，《月刊》转由一个编辑委员会运营。1913年1月期的《月刊》宣布：该期刊“与芝加哥大学、伊利诺伊大学、印第安纳大学、爱荷华大学、堪萨斯大学、密歇根大学、明尼苏达大学、密苏里大学、内布拉斯加大学、科罗拉多学院和欧柏林学院合作出版”。杂志由十二位教授组成的理事会负责“把控和编辑”，芬克尔、米勒和斯劳特三人位列其中。

《月刊》1913年1月期封面

期刊改组成功，它仍需要更多、更稳定的资金支持。让美国数学会接管《月刊》的计划再度提上议程。美国数学会面临抉择：是否挑起《美国数学月刊》的重担？这时，数学家们分成了两派，一派赞成数学会继续聚焦于“学术研究”，不屑于放下身段投身“普通人的数学”。然而另一些学会成员却洞察到，改进大众数学教学是提升前沿数学研究水准的关键因素，他们认为这应该是美国数学会努力的方向。这两派的争论针尖对麦芒，互不相让。

另起炉灶

1914年2月11日，迪克森给美国数学会的秘书科尔（Frank Nelson Cole，1861-1926）教授写信游说，希望学会接过担子。他强调说，“希望《月刊》能继续出版，因为它在这一领域做得很好。”“广大读者对《月刊》很感兴趣，并从中受益。”

在信中，迪克森提出了一个重要的问题：

“数学会将精力集中在高等数学方向，而非扩大范围，关注中级数学，这是否更有利于我国数学的发展？”

迪克森笔锋一转，亮出自己的观点：如果美国数学会不答应接管，那就成立一个新的全国性数学团体，来支持《美国数学月刊》。

“假如数学会不打算同时兼顾中级领域，那么《月刊》最终还是要背靠某个组织，就像《数学公报》（Mathematical Gazatte）和英国数学协会的关系一样。”

“数学会要么扩大其职能，要么体面地默许一个新组织不可避免地成立，这不仅不会损害我们的学会，反而会给我们带来好处。”

相信读者已经猜到了，迪克森提到的“新组织”，正是后来的美国数学协会。

对此，期刊内部也存在不同声音。编辑厄尔·赫德里克（Earle R. Hedrick，1876-1943）坚持《月刊》只能由美国数学会接管。他给科尔写信，说虽然“确信《月刊》有其存在的意义”，并且坚信“它应该继续存在下去”，却表明态度：

“我坚决反对在数学会之外再成立一个组织，来负责《月刊》和召集会员支持。事实上，除非万不得已（absolutely forced），否则我不会参与创立除数学会之外的其他组织。”

斯劳特于1914年4月、12月先后向美国数学会提交接管提案。1915年4月23日，美国数学会理事会以三比二的投票结果决定拒绝接管《月刊》，最终决议写道：

理事会认为，美国数学会介入《美国数学月刊》目前涵盖的特殊领域的活动是不明智的；但要说明的是，理事会认识到这一领域工作的重要性及其对数学科学的价值，如果成立一个组织专门处理这项工作，学会将对这一组织怀有衷心的善意和鼓励。

1915年12月，美国数学协会的成立大会在俄亥俄州立大学举行，有104名数学家和教师参加。尽管赫德里克先前表示反对，但他最终还是主持了这次大会，并当选首任协会会长。他写道：“我们不能忽视的一个重大事实是，现在有一大批对数学感兴趣的人们加入了这个协会，共同促进他们认为有价值和有益的一切。”

自那时起，《美国数学月刊》一直是协会的核心出版物之一。从此，《月刊》有了亲娘，在妈妈的悉心照料下，这个曾经孤苦伶仃的贫女茁壮成长。芬克尔的梦想已经基本实现，他1894年所展望的愿景——“成为美国出版的最有趣、最受欢迎的期刊”，不久得以成真：它成为了全球读者量最大的数学杂志！

普通读者

百余年来，美国数学协会对美国优秀大学生的数学教育建立了不朽功勋，它一直秉持这样的数学文化观念：数学教学与数学研究应相互交融，相辅相成；不同学科大学生应沐浴于新鲜数学思想的灿烂阳光；通过阐述性写作展示数学之美的杂志应面向各层次读者；竭力鼓励数学教授撰写生气勃勃的普及性文章和入门级书籍。

美国数学协会旗下的四份阐述性数学期刊充分体现了上面四个特点所表达出的哲学思辨。它们分别是《美国数学月刊》、《数学杂志》（Mathematics Magazine）、《高校数学学报》（The College Mathematics Journal）以及《数学视野》（Math Horizons），其中以《美国数学月刊》最为杰出、最具典型。《美国数学月刊》面向从大学生到研究型数学家的广泛读者群，是美国最有声望的普及性数学杂志。《数学杂志》是双月刊，面向大学高年级教师。《高校数学学报》也是双月刊，面向大学低年级教师。《数学视野》是季刊，完全面向大学生。

《美国数学月刊》主要包括三个栏目：“文章（Articles）”、“笔记（Notes）”、“征解（Problems and Solutions）”，其他部分包括“书评”和“读者来信”等。文章栏目中的每一篇有显要的主题，带有一定的研究性甚至富有创新性，如笔者之一的博士导师李天岩（1945-2020）教授在读博士时和他的博士论文指导老师约克（James Yorke，1941-）教授写成并于1975年12月在《月刊》上登出的开创性论文《周期三则意味着混沌》（Period three implies chaos），首次定义了“混沌”这一数学概念。普林斯顿高等研究院理论物理学教授戴森（Freeman J. Dyson，1923-2020）在其美文、2008年度美国数学会爱因斯坦讲座稿《飞鸟与青蛙》（Birds and Frogs）中，将这篇论文赞誉为“数学文献中的一件珍品”，迄今被引用超过了6000次，据说在《月刊》百余年来所有文章中是被引用次数第二高的。笔记栏目刊载篇幅较短的文章，它们通常给出处理老问题的新观点、数学旧定理的新证明或经典结果在另一个领域中的奇妙应用。征解栏目则征求难题解答。收到的最佳答案将登在《月刊》后面一期，并列出正确求解的读者名单，以资鼓励。

上述期刊的拒稿率很高，尤其是《月刊》，可能在95%左右。它们对文章的写作风格要求极高，绝非罗列定义定理及证明就能发表。例如，李天岩与约克的文章《周期三则意味着混沌》1973年第一次投稿时被《月刊》拒绝，因为写法不适于作为主要读者群的大学生，幸亏独具慧眼的编辑笔下留情，“如果改写到大学生能看懂的地步，可重新投回本刊复审。”否则这篇后来引领混沌研究浪潮的“数学珍品”就会落到《月刊》的宝库之外。笔者之一于2009年发表的阐述性文章《指数函数的动力学》（Dynamics of exponential functions），从投稿《高校数学学报》到见刊，历时近三年。他回想这段历程，感慨万千，因为其中很大一部分时间都是主编与他共同琢磨文字，润色稿件的语言和结构。

这篇文章是笔者读完《月刊》2004年数学论题评述丰富的一文《迭代指数》（Iterated exponentials）后，用离散动力系统的现代观点写出的，目的是对底为任意正数的指数函数，从任一初始点出发迭代函数而检视其迭代点序列的最终性态。文章所用工具为初等微积分，分析得颇为细致周到，审稿报告也很漂亮。然而，由于读者群是大学生以及教师，对极其认真的编辑而言，仅仅“数学正确”离正式发表距离尚远。于是，刊物的主编——一位小型学院的数学教授亲自上阵，与作者不停地来回电邮，热忱帮助他逐句逐字地修改文章，从文章结构、字词位置、先后次序、公式表达、正体斜体、画图制表等等方面精雕细琢，层层把关，的确让作者深受教育，也学到不少写作本领。作者当时深感有幸，亲身经历面向大众的数学期刊中一篇文章慢慢出笼的基本过程。

大师作者

《美国数学月刊》、《数学杂志》、《高校数学学报》及《数学视野》被美国大学院校广为订阅，常有数学名家在其上发文。中国力学家钱伟长留学多伦多大学时的导师辛格（John L. Synger，1897-1995）于91岁时在《月刊》上发文，讨论垂足三角形迭代的周期点。与此呼应，纽约大学柯朗数学科学研究所著名的拉克斯（Petr D. Lax，1926-）教授第二年也在《月刊》上撰文唱和，用微积分的语言探讨对应的垂足映射的遍历性质。

为了鼓励专家面向大学生的数学写作，美国数学协会专门设置众多奖项，每年奖励顶尖的阐述性文章。在众多的写作奖中，“肖维奈奖”级别最高，此奖于1925年由美国数学协会会长柯立芝（Julian L. Coolidge，1873-1954）捐款建立，纪念美国海军学院的数学、天文学、航海和测量学教授肖维奈（William Chauvenet，1820-1870）；肖氏曾为圣路易斯华盛顿大学第二任校长。其他奖项包括“哈尔莫斯-福特奖”，颁给由《月刊》或《数学杂志》刊登的优秀论文，福特（Lester R. Ford，1886-1967）和哈尔莫斯（Paul Halmos，1916-2006）分别于1942-1946年和1982-1986年担任过《月刊》主编，前者也当过一届美国数学协会会长（1947-1948）；“阿伦多弗奖”属于《数学杂志》，以纪念担任过《月刊》主编 (1952-1956) 和美国数学协会会长（1959-1960）的拓扑学家和数学教育家阿伦多弗（Carl B. Allendoerfer，1911-1974）；“波利亚奖”落脚于《高校数学学报》，波利亚（George Pólya，1887-1985）是大名鼎鼎的匈牙利裔美国分析数学家和数学教育家；“埃文斯奖”以埃默里大学杰出数学家、教师和作家埃文斯（Trevor Evans，1925-1991）的名字命名，为《数学视野》而设；“哈塞青年作者奖”专门奖赏协会期刊的优秀青年作者，奖金匿名捐款者以其过去的老师哈塞（Merten M. Hesse）名字命名。最后，欧拉图书奖则奖励可能提高公众视野的数学书籍，这是以人类历史上最多产的数学家欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）之名设立的。

波兰裔美国数学家卡茨（Mark Kac，1913-1984）于1966年在《月刊》上发表《人能听见鼓的形状吗？》（Can one hear the shape of a drum?），让他不仅收获一枚1968年度的肖维奈奖章，也拿到了来自《月刊》的福特奖。二十六年后，三位美国数学家在《美国数学会通报》（Bulletin of the American Mathematical Society）上发文《人不能听见鼓的形状》（One cannot hear the shape of a drum），再度成为美国数学界的热点新闻。陈省身先生曾于1967年在《月刊》上发表一文《欧氏空间中的曲线和曲面》（Curves and surfaces in Euclidean space），三年后获得肖维奈奖。前述的拉克斯以有关激波的《月刊》文章荣获1974年的肖维奈奖。其他获奖的著名数学家中，中国数学学生耳熟能详的可能有哈代（Godfrey H. Hardy，1877-1947）、哈尔莫斯、斯梅尔（Steve Smale，1930-）和斯特朗（Gilbert Strang，1934-）。

值得一提的是，1979年，分别担任纽约城市大学和纽约大学数学教授的美国人钱德勒（Bruce Chandler，1932-）和爱德华兹（Harold Edwards，1936-2020）成了《数学信使》（Mathematical Intelligencer）的第一任主编，该杂志之前已经非正式流通了好几年。这本期刊老少咸宜，内容包括：数学概念的起源、数学思想的发展、数学家故事、数学史趣闻、数学文化点滴。它的特点是以吸引人的写作风格，为广大数学家及知识界提供信息和娱乐。笔者之一在密歇根州立大学读博士时的授课老师阿克斯拉（Sheldon Axler，1949-）教授80年代时曾担任其主编，笔者在教授的办公室里第一次见到这件印刷品，那时主编邀请了同系的李天岩教授为之撰写了一篇阐述性文章《解多项式方程组》（Solving polynomial systems）。

斯梅尔是具有传奇色彩的杰出美国数学家，1966年因解决了维数不小于5的广义庞加莱猜想而斩获菲尔兹奖。那年的国际数学家大会在莫斯科大学举行，他赴会拿了奖，也因在记者招待会上公开批评美苏两国政府而“名扬天下”。他对此的回忆文章《莫斯科大学的台阶上》（On the steps of Moscow University）于1984年登在《信使》上。60年代初，斯梅尔在巴西对微分动力系统做出了开创性贡献，1998年，他将其中故事写进文章《在里约海滩上发现马蹄铁》（Finding a horseshoe on the beaches of Rio），登于《信使》。

伯乐相马

除了编辑影响深远的四份阐述性数学期刊外，美国数学协会也不忘发现人才，鼓励有数学天赋的少年脱颖而出，为此，它全盘负责全国初中生、高中生及大学生的数学竞赛。名下直接相关的全国性数学竞赛有：八年级初中生美国数学竞赛（American Mathematics Competition 8）；十或十二年级高中生美国数学竞赛（American Mathematics Competition 10 or 12）；美国数学邀请赛（American Invitational Mathematics Examination）；美国数学奥林匹克竞赛（United States of America Mathematical Olympiad）；美国少年数学奥林匹克竞赛（United States of America Junior Mathematical Olympiad）；普特南大学生数学竞赛（William Lowell Putnam Mathematical Competition）。此外，美国还有一个针对初中生的全国数学竞赛：MATHCOUNTS，于1983年由全国专业工程师协会、全国数学教师委员会和CNA保险公司共同启动。

其中，普特南数学竞赛起始于1938年。第二届普特南数学竞赛个人冠军是麻省理工学院物理系的本科生费曼（Richard Feynman，1918-1988）。他后来是20世纪下半叶美国最伟大的理论物理学家。那一届的团体季军是密西西比女子学院。它后来几易其名，现名威廉·凯瑞大学（William Carey University）。许多后来世界著名的数学家，如菲尔兹、沃尔夫、阿贝尔奖三大数学奖大满贯得主米尔诺，都曾在普特南数学竞赛中取得过前三名的好成绩。

十五年前，中国有了一份可以和《数学信使》媲美的普及性数学杂志，这就是由数论学家刘建亚和计算数学家汤涛创办的《数学文化》。据说，上至科学院院士、下至大中学学生都爱读其中的文章，这给在神州大地上普及数学之人文精神增添了光彩。然而，中国依然缺乏像《美国数学月刊》那样深入人心、在传播数学知识方面可读性极强的普及性期刊。今日，数学界同仁都在积极努力，为实现陈省身先生在世纪之交时展望过的“世界数学强国”而奋斗。要将“数学大国”进军到“数学强国”，一个必要条件是源源不断的青年数学家涌现出来，而优秀的阐述性数学杂志将会是帮助他们快速前行的推进剂。

数学写作高手哈尔莫斯曾经回忆道：“我发表的每一个字都至少写了六遍（Every single word I publish I write at least six times）。”只要我们的教授向他学习，认真写作，只要我们的编辑向他看齐，精益求精，人们翘首以盼的《中国数学月刊》将会在文明古国的东方冉冉升起！

写于2024年9月21日星期六

致谢：感谢周舒义编辑润色全文，优化表达。

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