数轴之加法篇
数轴之不等式篇
数轴之乘法篇
数轴之减法篇
数轴之除法篇
数轴之四则运算篇
数轴之分数篇
前言:在一个算式里,有加减法,又有乘除法,要先算乘除法,后算加减法,通常叫做先乘除后加减.在中小学数学中,这一约定是以运算顺序的名义出现的,但是不幸的是,在整个课程中,它似乎占据了核心的位置.这样做是不正确的,因为尽管学生们需要学会遵守约定,但是没有哪种约定可以提升到一门课程的主要位置的高度上去,在数学中尤其不行.
数轴上表示乘法
乘法的面积模型
十进制积木
单位的重要性
数轴上表示乘法
用线的长度表示面积思想之来源
四则运算混合运算的几何解释
乘法的面积模型.
出于讨论的需要,我们先引入面积的定义.如果正方形的变长为1,就称之为单位正方形.我们定义,单位正方形的面积就等于1.如果把一族小矩形Rj拼接起来可以得到整个矩形R,并且小矩形之间之多相交于边界,那么这族小矩形Rj铺满给定的矩形R.
任意一个矩形的面积,就定义为要铺满它所需要的单位正方形的个数.（这里只讨论自然数,因此矩形的面积都是自然数）.例如,如果每行有5个单位正方形,那么3行这样的单位正方形可以铺满竖直边为3,水平边为5的矩形.从而这个矩形的面积等于 5 + 5 + 5（单位正方形）,即 3 × 5.
用类似的推理可以证明: 乘积mn表示竖直边为m,水平边为n的矩形的面积.
十进制积木
base ten blocks由一些大正方形,长矩形,小正方形组成.一个长矩形的面积等于10个小正方形的面积，一个大正方形的面积等于100个小正方形的面积.由于其面积之间的关系,所以小正方形的个数可以代表一个数的个数,长矩形的个数可以代表一个数的十位,大正方形的个数可以代表一个数的百位.这种工具常被用来教学生认识数,有时也常用做乘除加减的计算.
乘法的面积模型事实上是操作十进制积木的基础.
单位的重要性
单位正方形的意义，它是一个边长等于单位线段[0, 1]长度的正方形.于是数字5的含义是"5个单位正方形的面积".为了方便,可以将这些正方形堆在一起,并将5视为一个矩形的面积,其宽为单位线段,其长为由5条单位线段拼接而成的线段的总长度.因此，这个特殊的矩形的面积对应着线段[0, 5]:
为了不至于引起混淆,就简单地称之为一个宽为1长为5的矩形.同样的,数n就是一个宽为1长为n的矩形的面积.
我们仍然以1作为单位正方形的面积, 2+3是什么呢？
它就是2个单位正方形的面积加上3个单位正方形的面积，因此与下面的矩形面积一样.
将这种组合矩形的方式称之为矩形的拼接.
**等于号=**
等于号是小学数学中最容易造成困惑的来源之一,所以需要详细说明这个符号“=”.
1.如果可以用数数的方法证明两个自然数a和b是用一个数,那么我们称这两个自然数相等,记作a=b.
2.或者我们可以用数轴来解释两个自然数相等,因为每个自然数对应于数轴上的一个点,所以a=b的意思是这两个点在数轴上重合.
两个自然数之间的等于号并不表述"经过运算得到一个答案".等于号的意思仅仅是：用数数的方法检验等于号的左右两边是否为用一个数,或者把等于号两边的数置于数轴上检验结果是否为同一个点.
要尽量避免给学生留下这样的印象：等于号是进行计算的命令.比如"1 + 3 = ?"这也会引起学生对等于号的困惑.
数轴上表示乘法
在数轴的背景下,有必要对乘法的概念做一些澄清.由于每个自然数n都是某条线段(如[0, n])的长度,所以，比如 2 × 3 = 6中的6,一定也可以表示一条线段的长度.在数轴上表示乘法的时候,6也可以表示面积.
固定一条数轴，于是单位线段便已选定.有了单位线段就可以定义单位正方形.现在我们将原来的数轴上的单位1等同于单位正方形面积。
通过这一等同的处理,6表示面积的问题就可以得到解决.因此, 2×3=6，这个6显然数下面矩形的面积.
另一方面,根据定义 2 × 3 = 3 + 3 = 6.因此,6也是由两条长度为3的线段拼接而成的线段的长度(这里用线段的长度来表示面积).但是，通过上述等同,这两个6在数轴上是同一个点.
因此,对乘法的任何讨论中,数轴都具有两个作用：
其单位1即是单位正方形的边长,也是单位正方形的面积的大小.
为了说明上述等同, 5 + （2 × 3） = 11 的一个可能的解释：
它意味着合并矩形
得到的面积与一个长为11,宽为1的矩形的面积相等.
用线的长度表示面积的思想来源
“在一个角度中将一个面积应用于一条线”的意思正是此构造所达成的，即构建一个与该面积相等的平行四边形，其中一边为给定的线，一个角等于给定的角。
在实际中，该角度通常为直角,给定的线可以被视为单位线,然后所得矩形的长度代表面积。
四则运算混合运算的几何解释
在四则运算中,需要把每一部分计算的结果在数轴上对应的位置计算出来,再对总的长度进行拼接. 以5 + （2 × 3） 为例,先把5这部分在数轴上代表的位置找出来,再把 2×3在数轴上代表的位置找出来,然后再将两者进行拼接即可.数字5这里表示的是面积,2 × 3表示的也是面积,都可以在数轴上找到对应的位置.
《原本》中公理2，公理3的进一步解释.
等量加等量，其和相等.
等量减等量，其差相等.
这些常见的概念，有时也被叫做公理，说的是同一种的量。在《原本》里出现的各种量包括线、角、平面图形还有立体图形。比如说，第一个常见概念能用到平面图形上，就像如果一个三角形跟一个矩形相等，而这个矩形又跟一个正方形相等，那这个三角形也就跟这个正方形相等。同一种的量能拿来比较和相加，可不同种的量就不行。比如，一条线不能加到一个矩形上，一个角也不能跟一个五边形作比较。
四则运算的几何解释
1)比如 5 + 2 这里的 5 可理解为线段, 2是线段,都能在数轴上表示.
2)比如 5 + 2 ×3 这里的 5 可理解为面积, 2×3也是面积,都能在数轴上表示.
3)比如 5 + 2 ×3 × 3 这里的 5 可理解为体积, 2×3×3也是体积,都能在数轴上表示.
4).当然,5+ .....这里的数字既可以理解为线段,也可理解为面积,也可理解为体积.单独一个数字，怎么去理解,这个主要看混合运算的结构是怎样的.
