1. 基本概念
偏微分方程的定义
包含一个或多个自变量（空间变量、时间变量等）和一个未知函数及其偏导数的方程，形如： 其中， 是待求函数。
阶
PDE的阶是最高阶偏导数的阶数。例如，方程 是二阶偏微分方程。
线性与非线性方程
线性方程：未知函数及其偏导数线性出现。 非线性方程：含有未知函数及其偏导数的非线性项。
2. 典型偏微分方程
一阶偏微分方程
一阶线性方程： 解法：特征线法，通过解特征方程 。
二阶偏微分方程
椭圆型：如拉普拉斯方程 抛物型：如热传导方程（扩散方程） 双曲型：如波动方程
3. 初值问题与边值问题
初值问题（Cauchy问题）
给定初始条件求解 PDE，例如：
边值问题
给定边界条件求解 PDE，例如拉普拉斯方程的狄利克雷边值问题：
4. 解析解法
分离变量法
将 PDE 转化为一组常微分方程（ODE），如波动方程的分离变量解法：
傅里叶级数法
将解表示为傅里叶级数，通过分离变量法求解，如热传导方程的傅里叶级数解法：
积分变换法
使用傅里叶变换或拉普拉斯变换将 PDE 转化为代数方程或 ODE，如拉普拉斯方程的傅里叶变换解法：
5. 数值解法
有限差分法
用差分方程逼近偏微分方程，通过离散化空间和时间求解，例如：
有限元法
将区域离散成有限单元，用变分方法求解 PDE 的近似解：
谱方法
将解表示为全局基函数的线性组合，通过求解投影方程得到近似解：
6. 典型应用
物理学中的应用
热传导、流体力学、电磁场理论等。 例如，描述热传导过程的热方程：
工程学中的应用
结构力学、振动分析、传热等。 例如，描述梁振动的波动方程：
生物学和化学中的应用
种群动态、化学反应、扩散过程等。 例如，描述化学反应-扩散过程的反应-扩散方程：
偏微分方程的知识结构框架涵盖了基本概念、典型偏微分方程、初值问题与边值问题、解析解法、数值解法以及典型应用。掌握这些基本概念和公式，是理解和应用偏微分方程的关键。
