询问几个五年级的孩子，为什么2的倍数只要看个位数字，3的倍数却要将各位数字相加？都说不知道。
教材建议通过不完全归纳得出结论，我觉得五年级的孩子可以更深入一点，利用数的组成不仅有助于理解倍数特征，而且可以培养学生的思维能力，下面是我的几点想法。
已有的知识经验
1
十进制计数法。
我们日常使用的计数法是十进制计数法，每相邻的两个计数单位之间的进率都是十。所以每个整数都可以表示成a与10的n次幂相乘的形式，例如：235=2×10²+3×101+5×100，小学阶段通常选择将一个多位数表示成若干个计数单位的和的形式，例如：
235=2×100+3×10+5。
2
乘法运算定律。
两个数的和（差）与一个数相乘，可以先把他们与这个数分别相乘再相加（减），结果不变，这叫做乘法分配律。
反过来，两个数与同一个数相乘再求和（差），可以先把两个数求和（差），再与这个数相乘，结果不变。
例如7×3+4×3=（7+4）×3，12×5-9×5=（12-9）×5。
倍数特征
1
2的倍数特征
以56为例，根据数的组成可知56=5×10+6。
5×10=25×2，6=3×2。
56=25×2+3×2=（25+3）×2，所以56是2的倍数。
为什么可以只看个位数字，不看其他数位呢？
因为10是2的倍数，那么a×10一定是2的倍数。也就是无论十位、百位、千位……上的数字是多少，都是2的倍数。所以只要个位上的数是2的倍数，这个数就一定是2的倍数。
2
3 的倍数特征
（1）各位数字恰好是3的倍数。
以369为例，
369=3×100+6×10+9。
300=3×100，60=3×20，9=3×3，
369=3×（100+20+3），所以369是3的倍数。
369恰好各位数字都是3的倍数，如果各位数字不是3的倍数呢？
（2）各位数字不是3的倍数。
以456为例，
456=4×100+5×10+6。
400和50都不是3的倍数，为什么456却是3的倍数呢？
10=3×3+1，那么50=（3×3+1）×5=3×15+5，也就是50可以改写成一个3的倍数与5的和。
100=3×33+1，那么400=（3×33+1）×4=3×132+4。也就是400可以改写成一个3的倍数与4的和。
400等于一个3的倍数与4的和，50等于一个3的倍数与5的和，那么450等于一个3的倍数与（4+5）的和，而4+5恰好是3的倍数，所以450是3的倍数，即456是3的倍数。
上面的过程看似复杂，本质上就是将一个数分成几部分，若每部分都是3的倍数，那么这个数一定是3的倍数。反之，将一个数分成两部分，其中一部分是3的倍数，而另一部分不是3的倍数，那么这个数就不是3的倍数。
以289为例，9是3的倍数，但280不是3的倍数，所以289不是3的倍数。
（3）如何快速判断
从上面的分析可知整十数除以3的余数与它的十位数字相同，整百数除以3的余数与百位数字相同……，一个多位数除以3的余数与各位数字的和除以3的余数相同。所以只要计算各位数字的和除以3的余数就可以判断一个数除以3的余数，也就能判断这个数是不是3的倍数（整除就是余数为0）。
3
特征的推广
（1）4的倍数特征
判断一个数是不是2的倍数，只要看个位数字，因为整十、整百数一定是2的倍数，那么判断4的倍数特征呢？
整十数不一定是4的倍数，但整百数一定是4的倍数。
多位数可以表示成整百数与末两位数的和，整百数一定是4的倍数，如果末两位数是4的倍数，这个多位数一定是4的倍数；如果末两位数不是4的倍数，这个数就不是4的倍数。
例如：236=200+36，200=4×50，36=4×9，所以236是4的倍数。
再如：482=400+82，400=4×100，但82不是4的倍数，所以482不是4的倍数。
（2）9的倍数特征
9的倍数特征与3的倍数特征相似，因为10除以3和10除以9的余数相同。
一个多位数除以9的余数与各位数字的和除以9的余数相同，只要计算各位数字除以9的余数就可以判断一个数除以9的余数，也就能判断这个数是不是9的倍数（整除就是余数为0）。
例如：423=400+20+3，400=44×9+4，20=2×9+2，4+2+3=9，所以423是9的倍数。
再如：825=800+20+5，800=88×9+8，20=2×9+2，8+2+5=15，所以825不是9的倍数。
（3）11的倍数特征
11的倍数特征比较特殊，若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差是0或能被11整除，则这个数能被11整除。
例如：264，奇位数字和是2+4=6，偶位数字和也是6，6-6=0，所以264是11的倍数。
再如：95949392，奇位数字和是14，偶位数字和是36，36-14=22，22是11的倍数，所以 95949392是11的倍数。
为什么会有这么奇怪的特征呢？继续用数的组成来分析。
我们将一个多位数从个位（或高位）开始，依次分解成若干个11的倍数，如果每一部分都是11的倍数，这个数就是11的倍数。
例如264，264=44+220，
44和220都是11的倍数，所以264是11的倍数。
再如308，308=220+88，
220和88都是11的倍数，所以308是11的倍数。
再如39471，
39471=33000+5500+880+91，91不是11的倍数，所以39471不是11的倍数。
每一部分，除0外数字均相同（如果是11的倍数），这两个非0数字正好分别是奇位数字和偶位数字，所以可以直接用奇位数字与偶位数字进行快速判断。
4
应用与拓展
（1）快速判断
如果深刻理解倍数特征的原理，不仅可以准确判断，而且可以快速判断。
例如判断12938527是不是3的倍数。可以这样想
12938527=12000000+938527，12000000是3的倍数，所以只要判断938527是不是3的倍数；
938527=930000+8527，930000是3的倍数，所以只要判断8527是不是3的倍数；
8527=8500+27，27是3的倍数，所以只要判断8500是不是3的倍数。
8+5=13，13不是8的倍数，所以12938527不是3的倍数。
（2）余数的判断
利用上面的方法，不仅可以判断倍数，还可以判断余数。
例如2957是不是9的倍数，如果不是，余数是多少？
2957=2007+900+50，2007和900都是9的倍数，50÷9=5……5，所以2957÷9的余数是5。
这类判断看似复杂，其实并不难理解，学生的生活经验足以支撑它的建构。
老师给同学们分苹果，第一次拿来320个，第二次拿来35个，平均分给32名同学，能正好分完吗？剩下多少个？
五年级的同学一定会选择35÷32，得出余数是3，而不会选择（320+35）÷32。
数学源于生活，又高于生活，教学很重要的任务之一就是帮助学生将直观的生活现象抽象成数学原理，培养学生用数学的眼光观察世界，用数学的语言表达世界。
