彼得·舒尔茨（Peter Scholze）改变了在 进域上的算术代数几何。
舒尔茨的完美胚空间理论，通过将其与特征 的几何联系起来，深刻地改变了 进几何这一领域。利用这一理论，彼得·舒尔茨证明了完全交的德利涅权-单值猜想。作为进一步的应用，他构建了附着于局部对称空间的挠系数上同调类上的伽罗瓦表示，解决了一个长期存在的猜想。
舒尔茨版本的 进霍奇理论推广到了一般的 进刚性空间。舒尔茨与巴特和莫罗一起，发展了一个 进霍奇理论的整系数版本，建立了贝蒂上同调和晶体上同调的挠部分之间的联系。
在他所引发的算术几何革命之路上，舒尔茨处理并重塑了各种主题，例如代数拓扑和拓扑霍赫希尔德同调。
舒尔茨发展了新的上同调方法。超越 进域，舒尔茨关于整数环上上同调理论的构想已成为吸引整个数学界的指导方针。
彼得·舒尔茨于 1987 年 12 月 11 日出生在德国德累斯顿。三十岁时，他已被科学界视为世界上最具影响力的数学家之一。2012 年，二十四岁的他成为波恩大学的正式教授。舒尔茨的智力能力自青少年时期就令同事印象深刻，当时他在国际数学奥林匹克竞赛中赢得了四枚奖牌——三金一银。这位德国数学家以创纪录的时间——五个学期——完成了大学本科和硕士学业，并在二十二岁时因将数论中一个复杂的数学证明从 288 页简化到 37 页而声名鹊起。作为算术代数几何专家，他因理解数学现象本质并在展示中将其简化的能力而脱颖而出。
十六岁时，还是海因里希-赫兹文理中学（一所科学重点学校）学生的舒尔茨决定研究安德鲁·怀尔斯对费马大定理的证明。面对结果的复杂性，他意识到选择数学作为职业是正确的道路。他曾是 2014 年韩国首尔国际数学家大会的特邀演讲者，并在 2018 年国际数学家大会上担任全会报告人。舒尔茨因其对算术代数几何的贡献而屡获殊荣，他获得了多项重要数学奖项，如法兰西公学院的佩科奖及佩科课程奖（2012）、SASTRA 拉马努金奖（2013）、克莱研究奖（2014）、美国数学学会的弗兰克·纳尔逊·科尔奖（2015）、费马奖（2015）、奥斯特洛夫斯基奖（2015）、欧洲数学奖（2016）以及莱布尼茨奖（2016）。2018 年，他被任命为波恩马克斯·普朗克数学研究所所长。
完美胚空间（perfectoid space）是一类存在于 进几何领域的代数几何对象，由 Peter Scholze 在其博士论文 [Sch12] 中引入。其定义深受 Fontaine 和 Wintenberger 的伽罗瓦理论经典结果（见定理 1）的启发，由此发展出的理论已经产生了惊人的应用。
动机
固定一个素数 ，考虑进数域，以及上洛朗级数域。这些域在形式上有很大的相似性：可以将中的元素表示为以为变量的整数系数洛朗级数，类似的描述也适用于将替换为的。当然，并没有实现这种相似性的域同构：的特征为，而的特征为。尽管如此，[FW79] 的一个基本洞见是，至少在将替换为更大的域，并将替换为其完备化之后，两者之间确实存在一种稳固的关系。
定理 1（FW79）. 和 的（绝对）伽罗瓦群是典范同构的。
定理 1 给出了 和的有限域扩张之间的一种对应，启发式地看，这是通过将替换为建立的。例如，在上的分裂域对应于在上的分裂域。通过注意到“整”子环和通过环同构
相关联（该同构将 映到 ），可以在一定程度上揭开这种机制的神秘面纱。除了其内在的美感，这种对应使得我们可以在 和 之间传递伽罗瓦理论信息。
例 1. 由于 Frobenius 自同构的存在，某些不变量对于很容易计算；定理 1 有时有助于将这种计算转移到。例如，使用此策略可以推断，的绝对伽罗瓦群的上同调维数，因为的相应断言是经典的（Hilbert）。
回忆，从代数几何的角度看，域是零维簇。完美胚空间理论的目标是将定理 1 推广到更高维，即以相对无损的方式关联（某些）和 上的代数结构。
完美胚空间
固定如前所述的 和。为引入这些域上的完美胚空间，回顾和上的一些附加结构是有用的。具体来说，注意和都分别配备了由进度量 和进度量给出的自然范数。由于我们后续的构造涉及各种极限操作（例如提取任意的幂根），将所有构造置于一个稍加分析化的框架中是方便的。因此，我们将从过渡到其进完备化，将过渡到其进完备化；定理 1 的类比对于和也成立，因为完备化不改变伽罗瓦群。基本定义是：
定义 1. 一个完美胚代数是一个 Banach代数，满足其幂有界元素子环是开且有界的，并且 Frobenius 自同态在上是满射；类似地定义完美胚代数。
为了剖析这个定义，让我们研究一些例子。这类代数最简单的例子是 本身。的确，上的范数赋予了一个 Banach 代数结构。子环是进完备化，因此在的（进）拓扑中是开且有界的；由构造可知，上的 Frobenius 是满射。这个例子对应于完美胚空间世界中的一个“点”。下一个最简单的例子是“线”：
例 2. 考虑进完备的代数，并令。则可以赋予一个自然的 Banach代数结构，使得是开且有界的。此外，由于我们已经提取了的任意幂根，上的 Frobenius 是满射，所以是一个完美胚代数；这个代数通常记为。类似地，是一个完美胚代数。
在特征 的情形下也容易构造例子：
例 3. 令是任意代数。提取中所有元素的幂根（即过渡到完备化）给出一个新的代数。这通过在其进完备化中逆元得到代数。可以赋予一个自然的 Banach代数结构使其成为完美胚的。例如，将此过程应用于即得例 2 中的。
回忆代数几何中，仿射簇完全由其函数环描述，而簇是通过将仿射簇粘合在一起构造的。完美胚 空间的情形是类似的：“仿射”对象对应于完美胚 代数，而完美胚 空间是通过将这些“仿射”对象粘合在一起构造的。实际上，为了保留定义 1 的分析风味，这种粘合是在刚性解析几何的世界中进行的（通过 Huber 的进空间 [Hub96] 实现）。这里我们将忽略这个技术性但绝对关键的点，并假设通过粘合完美胚 代数的“谱”来构建完美胚 空间的概念已被定义。关于这些对象的主要定理是：
定理 2（Sch12，定理 1.9 和 1.11）. 完美胚 空间范畴和完美胚 空间范畴是典范等同的；这个等同保持平展拓扑。
为了描述这个等价，注意到 (1) 给出了一个用 描述 的公式：
其中极限是沿着 上的 Frobenius 映射取的，而是幂相容系。定理 2 中的等同正是由完全相同的公式给出（对于仿射情形）：将一个完美胚代数送到完美胚代数
对应 称为倾斜（tilting），而逆称为反倾斜（untiltling）；这个命名建议我们将这些操作视为在由 (2) 得到的下图的两端之间移动：
我们此前已经在本文中遇到过一些倾斜的例子：
例 4. 如上所述，域 是 的倾斜，这解释了该记号。类似地，在例 2 中，环 是 的倾斜。
一个更“整体”的倾斜例子由下式给出：
例 5. 固定一个整数。将例 3 整体化，得到一个完美胚空间，它是上射影空间的完备化。其反倾斜（粗略地）由给出，其中转移映射将所有齐次坐标提升到次幂。
倾斜下平展拓扑的保持是一个深刻的结果：它同时推广了定理 1 和 Faltings 的“几乎纯性定理”，后者是他在 进霍奇理论中始于 [Fal88] 的基础工作的关键成分，并使他能够证明 Fontaine 的各种猜想。
定理 2 引出了下图，总结了完美胚空间与经典代数几何的关系：
这里水平箭头来自定理 2，右侧垂直箭头是例 3 的整体化。神秘的虚线箭头 实际上并不存在：没有自然的方式将一个完美胚空间附加到一个代数簇上。这种明显的不对称性可以通过注意到在特征中存在提取所有次根的典范程序（即取完备化）来解释，而在特征中没有类似的构造。相反，给定一个代数簇，每次我们能够以某种方式构造一个相关的完美胚空间，我们就能学到关于的大量新信息。我们将在标题为“例子和应用”的章节中讨论这种现象的一些例子。
注 1.在 [Sch12] 中，可以找到比这里概述的理论稍加推广的版本：上述的只是完美胚域的一个例子。对于任何这样的，都存在一个特征的倾斜，以及在这些域上的类似完美胚空间理论（特别包括定理 2）。一个重要的例子是（的完备代数闭包），其倾斜是的完备代数闭包。
例子和应用
完美胚空间理论相当年轻，但已经极具威力：迄今为止发现的每一类例子都导致了算术几何中强大而深刻的定理。接下来我们总结一些这样的例子，记号同前。
给定一个超曲面 ，可以构造一个完美胚空间，本质上，它是下的逆像周围半径为的管状邻域，沿用例 5 的记号。利用和定理 2，Scholze 在 [Sch12] 中通过将其化约为特征域上光滑超曲面的类似陈述（后者由 Deligne 在证明韦伊猜想的途中完成），证明了光滑的 Deligne 权-单值化猜想。
给定正整数 ，可以考虑模空间，它参数化上的阿贝尔簇，并配备其进 Tate 模的一个平凡化。从经典代数几何的角度看，这个空间相当庞大且病态。然而，在最近的一篇预印本（题为“On torsion in the cohomology of locally symmetric varieties”）中，Scholze 证明了是一个表现良好的对象：它自然是一个完美胚空间。事实上，他对任何（Hodge 型的）具有处满水平结构的志村簇都推出了类似的陈述。利用这些空间，他证明了以下两个结果，表面看来与完美胚空间（甚至局部域）毫无关系：(a) Calegari 和 Emerton 关于上志村簇的上同调消失猜想是正确的（非常类似于例 1 的精神），以及 (b) 可以为局部对称空间的上同调中的挠类附加伽罗瓦表示，这建立在 Harris-Lan-Taylor-Thorne 近期工作的基础上，并代表了朗兰兹纲领向前迈出的重要一步。
最后我们触及一个在上一节中基本回避的主题。即，由于完美胚空间存在于解析几何的世界中，它们实际上有助于研究经典的刚性解析空间，而不仅仅是代数簇（如前两个例子所示）。在其论文“ - adic Hodge theory for rigid- analytic varieties”中，Scholze 推进了这一想法，将 进霍奇理论中的基础结果，例如上文提到的 Faltings 的工作，推广到 上刚性解析空间的设定；这种推广在几十年前由 Tate 在其划时代的论文“ - divisible groups”中提出猜想。Scholze 方法的关键成分是这样一个卓越的观察：在适当的意义下，上的每个经典刚性解析空间都是局部完美胚的。
完美胚空间的威力才刚刚开始被发掘，更多的应用必将出现！
[Fal88] GERD FALTINGS, p-adic Hodge theory, J. Amer. Math. Soc. 1(1) (1988), 255- 299.
[FW79] JEAN- MARC FONTAINE and JEAN- PIERRE WINTENBERGER, Extensions algebrique et corps des normes des extensions APF des corps locaux, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. A- B 288(8) (1979), A441- A444.
[Hub96] ROLAND HUBER, Etale cohomology of rigid analytic varieties and adic spaces, Aspects of Mathematics, E30, Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1996.
[Sch12] PETER SCHOLZE, Perfectoid spaces, Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci. 116 (2012), 245- 313.
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